相关试卷

1、综合与实践：
【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形 $A B C D$ 中（ $B C \geq C D$ ），
$A B ∥ C D ， ∠ B = 90 °$ ．
【探究实践】
陈老师引导同学们在边 $B C$ 上任取一点E，连接 $D E$ ，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接 $C H$ 并延长，分别交 $D E ， A B$ 于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕 $D E$ 与 $A D$ 夹角为 $90 °$ 时，则四边形 $A G C D$ 是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是 $B C$ 的中点时，延长 $D H$ 交 $A B$ 于点N，连接 $E N$ ，则N是 $B G$ 的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长 $E H$ 交 $A B$ 于点F．当给出 $B C$ 和 $B F$ 的长时，就可以求出 $E N$ 的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若 $B C = 6 ， B F = 4$ ，请你帮小慧求出 $E N$ 的长．

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2、2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．

(1)、烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？

(2)、烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．

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3、如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = C D = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{6}$ ．

(1)、求 $∠ A C D$ 的度数；

(2)、四边形 $A B C D$ 的面积．

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4、已知 $x = 3 - \sqrt{2}$ ， $y = 3 + \sqrt{2}$ ，求代数式

(1)、 ${(x + y)}^{2} - 2 x y$ 的值．

(2)、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

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5、如图1， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点P、Q是边 $A B$ ， $B C$ 上两个动点，且 $B P = 4 C Q$ ，以 $B P$ ， $B Q$ 为邻边作平行四边形 $B P D Q$ ， $P D$ ， $Q D$ 分别交 $A C$ 于点E，F，设 $C Q = m$ ．

(1)、直接写出 $B Q =$ 　　； $C E =$ 　　．（用含m的代数式表示）

(2)、当平行四边形 $B P D Q$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ 时，求m的值；

(3)、求证： $△ D E F ≌ △ Q C F$ ；

(4)、如图2，连接 $A D$ ， $P F$ ， $P Q$ ，当 $A D$ 与 $△ P Q F$ 的一边平行时，求 $△ P Q F$ 的面积．

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6、已知方程x²+bx+a＝0①，和方程ax²+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x₁＝2，x₂＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝ $\frac{1}{r}$ 是方程②的根；
（3）若a²b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求 $\frac{m s}{n t}$ 的值．

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7、社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示．已知 $A D = 52 m$ ， $A B = 28 m$ ，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为 ${640m}^{2}$ ．

(1)、求道路的宽是多少米？

(2)、该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10080元？
②求此停车场的月租金收入最多为多少元？

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8、如图，点 $E$ 、 $F$ 是平行四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上两点， $B E ∥ D F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $A C = 6 \sqrt{3}$ ， $B C = 8$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的周长．

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9、定义：若两个二次根式 $a$ ， $b$ 满足 $a \cdot b = c$ ，且 $c$ 是有理数，则称 $a$ 与 $b$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式．

(1)、若 $3 \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式，则 $c =$ _______________；

(2)、若 $a$ 与 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 是关于4的共轭二次根式，求 $a$ 的值；

(3)、若 $3 + \sqrt{3}$ 与 $6 + \sqrt{3} m$ 是关于12的共轭二次根式，求 $m$ 的值．

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10、解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$

(2)、 ${(x - 2)}^{2} = 3 x - 6$

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11、计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} + (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ ．

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12、如图，已知四边形 $A B C D$ 和四边形 $B C E F$ 都是平行四边形， $∠ A D C = 60 °$ ，连接 $A F$ 并延长交 $B E$ 于 $P$ ，若 $A P ⊥ B E$ ， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ， $A F = 1$ ，连接 $D E$ ，则 $D E$ 的长为， $B E$ 的长为．

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13、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (a + 3) x + a + 1 = 0$ ．若方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = 2$ ，则实数 $a$ 的值为．

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14、若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 8 x + n = 0$ 的一个解，则 $n$ 的值为．

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15、如图， $▱ E F G H$ 的四个顶点分别在 $▱ A B C D$ 的四条边上， $Q F ∥ A D$ ，分别交 $E H$ 、 $C D$ 于点 $P$ 、 $Q$ ，过点 $P$ 作 $M N ∥ A B$ ，分别交 $A D$ 、 $B C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，若四边形 $F B N P$ 面积为 $a$ ，则 $▱ E F G H$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2} a$ B、 $a$ C、 $\frac{5}{2} a$ D、 $2 a$

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16、如图，四边形 $A B C D$ 中， $R$ 是 $C D$ 中点， $E$ 、 $F$ 分别是 $A P$ 、 $R P$ 的中点，当动点 $P$ 在 $C B$ 上从 $C$ 向 $B$ 移动时，下列结论成立的是（）

A、线段 $E F$ 的长逐渐增大 B、线段 $E F$ 的长逐渐减小 C、线段 $E F$ 的长不变 D、线段 $E F$ 的长与点 $P$ 的位置有关

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17、若用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B > ∠ C$ ，则 $A C > A B$ ”，则应假设（）

A、 $A C \leq A B$ B、 $A C > A B$ C、 $∠ B \leq ∠ C$ D、 $∠ B > ∠ C$

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18、下列计算中正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{4 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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19、某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：

(1)、 $a =$ ______，E所对应的扇形圆心角是______ $°$ ；

(2)、请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”，这皮同学有多少人？；

(3)、某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．

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20、根据所给素材，完成相应任务．

玩转三角尺
活动背景	在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中 $∠ F, ∠ A$ 为直角， $∠ D = 60 °$ ， $∠ C = 45 °$ ，把两直角顶点重合（点 $A$ 与点 $F$ 重合于点 $O$ ），旋转三角尺进行探究活动．
素材1	小明同学的探究结果如图2所示， $D, O, C$ 三点在一条直线上．
素材2	小聪同学的探究结果如图3所示， $D E ∥ B C$ ，连结 $B D, C E$ ，发现四边形 $B C E D$ 是平行四边形．
素材3	李老师提出问题，如图4，在上述操作过程中（ $0 ° < ∠ B O D < 180 °$ ）， $△ D O B$ 与 $△ C O E$ 的面积比是否为定值？
解决问题
任务1	（1）根据图2，直接写出线段 $C D$ 的长为______．
任务2	（2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据，并计算 $▱ B C E D$ 的面积．
任务3	（3）请你解答李老师的问题，并说明理由．

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