相关试卷

1、阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A = 2 ∠ B$ ，则 $△ A B C$ 是倍角三角形，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边．
如图1，当 $∠ B = 30 °$ ， $b = 1$ 时， $a^{2} - b^{2} = 2$ ， $b c =$ ________
若 $∠ B = 45 °$ ， $b = 1$ 时， $a^{2} - b^{2} =$ ________， $b c =$ ________．
【性质猜想】如图2， $a$ ， $b$ ， $c$ 之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长 $C A$ 到点 $D$ ，使 $A D = A B$ ，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，且 $C D = B D$ ，若 $A C$ ， $A B$ ， $B C$ 的长度恰好是三个连续的正整数，请求出 $B C$ 的长．

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2、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 是 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线 $D P$ 交 $A C$ 的延长线于点 $P$ ，且 $∠ A B C = ∠ E D P$ ．

(1)、求证： $B C ∥ D P$ ；

(2)、若 $O F = 2$ ， $cos ∠ B F D = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $E F$ 的长．

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3、2024年5月20日是第35个中国学生营养日，主题是“奶豆添营养，少油更健康”．初中生小丽的妈妈为她购买了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分如表所示．某天，小丽从这两种食品中恰好摄入了 $770kJ$ 能量和 $9 g$ 蛋白质．

(1)、小丽这天喝了牛奶和豆浆各多少盒？

(2)、初中生每日脂肪摄入量的标准为 $40 g \sim 80 g$ ．若小丽这天已经从其他食品中摄入 $63 g$ 脂肪，在她喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由．
食品种类
营养成分
一盒牛奶
一盒豆浆
能量
$280kJ$
$210kJ$
蛋白质
$3 g$
$3 g$
脂肪
$3.6 g$
$2 .5g$
碳水化合物
$5.6 g$
$1 .7g$
钠
$65mg$
$13mg$
钙
$130mg$
$5mg$

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4、为传承中华优秀传统文化、提升学生劳动实践能力，某校七年级（5）班围绕端午节精心策划了特色主题班会活动，活动设置三项非遗体验项目： $A$ ．粽香传情—包粽子技艺研习， $B$ ．艾草留芳—香囊缝制工艺， $C$ ．龙舟竞渡—竹编船模制作，每位同学可以从中任选一个项目进行体验．

(1)、小颖选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是________；

(2)、请用列表或画树状图的方法，求出小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率．

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5、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $B C$ 上的点，连接 $D E$ ．

(1)、尺规作图：以 $A B$ 为边， $B$ 为顶点作 $∠ A B F = ∠ C D E$ ， $B F$ 交线段 $A D$ 于点 $F$ ；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形．

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6、（ $1$ ）计算： ${(- 2)}^{2} + 6 \div (- 3)$ ；
（ $2$ ）解不等式： $\frac{5 x - 1}{3} > x + 1$ ．

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7、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $4 \sqrt{2}$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $G$ 是 $B O$ 的中点，线段 $E F$ （点 $E$ 在点 $F$ 的左边）在 $A C$ 上运动，连接 $B F$ ， $E G$ ，若 $E F = 2$ ，则 $B F + G E$ 的最小值是．

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8、圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度 $A B$ 为 $12 cm$ ，竖直高度 $C D$ 为 $3 cm$ ，则 $⊙ O$ 的半径为 $cm$ ；

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9、某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是88分，90分，96分，若依次按 $5 : 3 : 2$ 的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是分；

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10、如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- 2, - 1)$ ， $A B$ 经过原点 $O$ ， $A C ∥ x$ 轴，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ 和边 $A B$ 的中点 $P$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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11、马拉松不仅是一项体育赛事，更是融合历史、健康、文化等多维度的社会活动．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙30米，已知乙的平均配速为2.8米/秒，如果甲计划跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为 $x$ 米/秒，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{300 - 30}{2.8} = \frac{300}{x}$ B、 $\frac{300 + 30}{x} = \frac{300}{2.8}$ C、 $\frac{300}{2.8} = \frac{300}{x} - 30$ D、 $\frac{300}{2.8} - 30 = \frac{300}{x}$

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12、如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为 $8 cm$ 和 $6 cm$ ，重叠部分是一个面积为 $6 {cm}^{2}$ 的菱形，则这个图案的总面积为（）

A、 $42 {cm}^{2}$ B、 $48 {cm}^{2}$ C、 $54 {cm}^{2}$ D、 $60 {cm}^{2}$

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13、已知一元二次方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 的两个实数根分别是 $p$ 和 $q$ ，则 $p + q =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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14、青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点 $O$ 为正八边形的中心，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $54 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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15、某班进行了一次英语听力测试，“善学”小组的5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的中位数和众数分别是（）

A、29，28 B、28，28 C、28.5，28 D、28，30

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16、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{6} = a^{8}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 $3 a^{2} + 2 a^{2} = 6 a^{4}$ D、 ${(- 3 a)}^{2} = - 9 a^{2}$

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17、下列调查中，适合全面调查的是（）

A、调查市场上某种食品的合格情况 B、调查某批灯泡的使用寿命 C、调查某班全体学生的视力情况 D、调查某市居民的防火意识

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18、如图 $1$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E 、 F$ 是 $\overset{⌢}{A D}$ 上的一个动点，连接 $A C 、 A F 、 C F$ ．

(1)、求证： $∠ A C D = ∠ A F C$ ．

(2)、如图 $2$ ，若 $C F$ 与 $A B$ 的交点 $G$ 为线段 $O E$ 的中点， $D G / / C B$ ， $C D = 4 \sqrt{5}$ ，求线段 $A C$ 的长．

(3)、如图 $3$ ， $F D$ 的延长线交 $A B$ 的延长线于点 $H .$ 求证： $O B^{2} = O G \cdot O H$ ．

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19、如图， $⊙ O$ 的半径为 $6, A$ 为 $⊙ O$ 上一点， $O D ⊥$ 弦 $B C$ 于点 $D, ∠ B A C = 120^{\circ}$ ，则线段 $B C$ 的长为．

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20、从 $- 4$ ， $- 2$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 这五个数中随机选择一个数，能成为方程 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 的解的概率为．

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食品种类营养成分	一盒牛奶	一盒豆浆
能量	$280kJ$	$210kJ$
蛋白质	$3 g$	$3 g$
脂肪	$3.6 g$	$2 .5g$
碳水化合物	$5.6 g$	$1 .7g$
钠	$65mg$	$13mg$
钙	$130mg$	$5mg$