相关试卷

1、
已知正方形 $A B C D$ ， E为对角线 $A C$ 上一点．

【建立模型】
（1）如图1，连接 $B E$ ， $D E$ ，求证： $B E = D E$ ；
【模型应用】
（2）如图2，F是 $D E$ 延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ， $E F$ 交 $A B$ 于点G．
①判断 $△ F B G$ 的形状并说明理由；
②若G为 $A B$ 的中点，且 $A B = 4$ ，求 $A F$ 的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是 $D E$ 延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ， $E F$ 交 $A B$ 于点G， $B E = B F$ ，请写出 $G E$ 与 $D E$ 之间的数量关系，并说明理由．

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2、若关于x，y的方程组的 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = k + 2 \\ x + 5 y = 2 k - 1 \end{array}$ 解满足 $x + 2 y > - 1$ ，则k的取值范围是（）

A、 $k > - \frac{4}{3}$ B、 $k < - \frac{4}{3}$ C、 $k > - \frac{2}{3}$ D、 $k < - \frac{2}{3}$

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3、点 $O$ 是 $△ A C B$ 的外接圆，AE为直径，在 $△ A D B$ 中， $D H ⊥ A B, C D = B C, B H = E C$ ．

(1)、求 $∠ C A B$ 的度数；

(2)、当 $A H = O H$ 时，求 $t a n ∠ D A H$ ；

(3)、连结OC交AB于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N / / A E$ 交EF于点 $N$ ，探究CF，FM，MN三者之间的数量关系．

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4、

(1)、在四边形ABED中， $A B / / D E$ ，在BC上有一点 $C$ ，连结 $A C, C D, ∠ A C D = ∠ B$ ， $A C = C D$ ．证明： $D E = B C$ ．

(2)、若四边形ABCD为菱形，将 $△ B C F$ 沿CF对折，使 $B^{^{'}}$ 恰好落在AD上，已知 $A F : B F =$ 1：3，求 $s i n ∠ A C F$ ．

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5、已知 $a^{2} - a - b c = m, b + c = 3$

(1)、当 $c = 2$ 时，求 $m$ 的最小值．

(2)、当 $m = - \frac{9}{4}, a$ 为正整数时，求abc的值．

(3)、是否存在a，b，c为整数，使 $m$ 的值为奇数．若存在，请求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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6、已知a，b满足 $a^{*} b = \frac{\sqrt{a b} + a + b}{3}$ ，已知 $3^{*} x = 4, x$ 为正数，则 $x =$ ．

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7、已知函数 $y = | x - 3 | - | x - 1 |$ ，则该函数与坐标轴围成的面积为．

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8、化简： $\frac{\sqrt{2025} - 1}{\sqrt[4]{2025} + 1} =$ ．

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9、已知 $y = x^{2} - m x + m^{2} + 2 m - 4 (1 ⩽ x ⩽ 3)$ ，设 $y$ 的最大值为 $M$ ，则 $M$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{13}{4}$ B、7 C、 $\frac{19}{4}$ D、9

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10、已知 $△ A B C$ 为等腰三角形， $A B = A C = 5, B C = 6$ ，点 $I$ 为 $△ A B C$ 的内心，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则OI的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11、甲盒子里有2个白球，乙盒子中有3个白球，丙盒子中有3个白球和1个黑球，问随机选一个盒子，随机摸一个球，摸出黑色小球的概率为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

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12、已知 $b ⩾ 0, 3 a - b = 4, 2 a - b + c = 0$ ，下面结论正确的是（）

A、 $a - c = - 4$ B、 $b - 2 c = 8$ C、 $0 ⩽ a ⩽ \frac{4}{3}$ D、 $c ⩾ - \frac{8}{3}$

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13、已知锐角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ C = α (30 ° < α < 90 °)$ ，将线段 $A C$ 沿直线 $A B$ 平移得到线段 $D E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、当 $α = 40 °$ 时，
①如图 $1$ ， $∠ E = 40 °$ ，请说明 $A E ∥ B C$ ．
②如图 $2$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上，先请补全图形，再求当 $∠ E = 2 ∠ B A E - 100 °$ 时 $∠ C A E$ 的度数．

(2)、在整个运动中，当 $A E$ 垂直三角形 $A B C$ 中的一边时，求出所有满足条件的 $∠ E$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）．（直接写出答案）

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14、数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．

(1)、根据图1，图2的面积关系，请你直接写出代数式： ${(a + b)}^{2}, a^{2} + b^{2}, a b$ 之间的等量关系．

(2)、根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ${(m + n)}^{2} = 25$ ， $m^{2} + n^{2} = 20$ ，求 $m n$ 和 ${(m - n)}^{2}$ 的值；
②已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x^{2} + 4 y^{2} = 7$ ， $x y = \frac{1}{2}$ ，求代数式 $(5 - x) (5 - 2 y)$ 的值．

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15、爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式： $x + a$ ， $x + b$ ， $x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 都是非零常数），当 ${(x + b)}^{2} - (x + a) (x + c)$ 是一个常数 $m$ 时，称这样的三个多项式是平衡多项式， $m$ 的值是平衡因子．

(1)、根据方方同学给出的定义，判断 $x + 2, x + 3, x + 1$ 是不是平衡多项式？说明理由．

(2)、已知 $x - 2, x + c, x + 2$ 是平衡多项式，求平衡因子 $m$ ．

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16、下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件：

①如果买2个篮球和6个足球共需480元；

②如果买3个篮球和4个足球共需460元；

请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分．

某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；____________

（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？

（2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的 $1.25$ 倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润 $=$ 售价 $-$ 进价）

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17、如图， $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别是 $B A, B C$ 上的点，满足 $∠ A C B + ∠ B + ∠ B D E = 180 °$ ．

(1)、 $A C$ ， $D E$ 是否平行？说明理由．

(2)、若 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $∠ 1 = 35 °$ ，求 $∠ 2$ 度数．

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18、（1）化简： $(15 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x) \div (3 x) - x$ ．
（2）先化简，再求值： $a (1 - 3 a) + (3 a + 1) (a - 4)$ ，其中 $a = - 2$ ．

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19、解下列方程：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 10 \\ y = 2 x \end{array}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 9 \\ x - y = 7 \end{array}$

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20、计算

(1)、 $3^{0} - 3^{- 2}$

(2)、 ${(a^{2})}^{3} \div a^{4}$

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