相关试卷

1、【知识技能】
（1）如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 13$ ， $B C \geq 13$ ，点 $P$ 是 $A B$ 边的中点，点 $Q$ 是 $B C$ 边上的一个动点，将 $△ P B Q$ 沿直线 $P Q$ 翻折，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处．求证： $A B^{'}$ $∥ P Q$ ．
【数学理解】
（2）在（1）的条件下，连接 $C B^{'}$ ，若 $B C = 26$ ，求 $C B^{'}$ 的最小值．
【拓展延伸】
（3）如图2，在（1）的条件下，若 $B C = 13$ ，连接 $B B^{'}$ ，延长 $B B^{'}$ 交对角线 $A C$ 于点 $M$ ，当 $B B^{'} = 5$ 时，求 $M B^{'}$ 的长．

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2、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上， $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D，交 $⊙ O$ 于点F．

(1)、求证： $A D = A E$ ．

(2)、若 $A B = 8, A D = 6$ ，求 $C D$ 的长．

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3、列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连.2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 8$ ， $A B = 4$ ．

(1)、利用尺规在 $B C$ 上找到一点E，使得 $E A = E C$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、连接 $A E$ ，则 $△ A B E$ 的面积为________．

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5、如图， $E$ ， $F$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上的两点，连接 $C E$ ， $B F$ 交于点 $O$ ， $△ E O F$ 的面积为 $4$ ， $△ B O C$ 的面积为 $9$ ，四边形 $A B O E$ 的面积为 $8$ ，则图中阴影部分的面积为．

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6、综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 $h (cm)$ 是液体的密度 $ρ (g / {cm}^{3})$ 的反比例函数，其图象如图所示 $(ρ > 0)$ ，当溶液密度 $ρ = 2 g / {cm}^{3}$ 时，密度计浸在溶液中的高度h为 $cm$ ．

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7、烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷等，当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化学式为 ${CH}_{4}$ ，乙烷的化学式为 $C_{2} H_{6}$ ，丙烷的化学式为 $C_{3} H_{8}$ ，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十五烷的化学式为（）

A、 $C_{15} H_{31}$ B、 $C_{15} H_{32}$ C、 $C_{15} H_{33}$ D、 $C_{15} H_{34}$

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8、不等式组 $\{\begin{cases} 2 x + 6 > x + 3 \\ 4 x \leq x + 3 \end{cases}$ 的解集是（）

A、 $- 3 \leq x < 1$ B、 $- 3 < x \leq 1$ C、 $- 1 \leq x < 3$ D、 $- 1 < x \leq 3$

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9、截至2025年4月3日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破 $155$ 亿元，暂列全球影史票房榜前五．“ $155$ 亿”这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $0.155 \times 10^{11}$ B、 $1.55 \times 10^{11}$ C、 $1.55 \times 10^{10}$ D、 $15.5 \times 10^{10}$

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10、我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中 $∠ C = 90 °$ ，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线 $M N$ 交 $B C$ 于点D，连接 $A D$ ．若 $C D = 3, B C = 8$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、4 B、5 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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12、小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值： $\frac{2 a}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a - 2}$ ，其中 $a = - 1$ ．
解：原式 $= \frac{2 a}{a^{2} - 4} \cdot (a^{2} - 4) - \frac{1}{a - 2} \cdot (a^{2} - 4) \dots ①$
$= 2 a - (a + 2) \dots$ ②
$= a - 2 \dots$ ③
当 $a = - 1$ 时．原式 $= - 3$

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13、下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、腾讯云 B、微云人工智能 C、天元人工智能 D、阿里云

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14、【问题背景】
在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 $y = - x^{2}$ 后，得到的新抛物线经过点 $A (0 ， 3) ， B (2, - 5)$ ．
【构建联系】
（1）求平移后新抛物线的表达式；
【深入探究】
（2）直线 $x = m$ 与新抛物线交于点 $Q$ ，与原抛物线交于点 $P$ ．
①若 $P Q = 5$ ，求 $m$ 的值；
②若 $m < 0$ ，记点 $P$ 在新抛物线上的对应点为 $P^{'}$ ，若 $△ P^{'} P Q$ 为直角三角形，求点 $P$ 的坐标．

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15、在实践课上，老师给每个制作小组发放一个彩色筝面和制作风筝的材料及工具．同学们认真观察后，组装了风筝的支架的骨架，粘贴了彩色筝面，制作出形色各异的精美风筝，其中老师选取了两位同学的风筝进行如下展示．
【模型建立】
（1）如图1，从风筝中抽象出“筝型支架”， $A E = A F ， D E = D F$ ，求证： $∠ A E D = ∠ A F D$ ．
【模型应用】
（2）如图2，在 $△ A B F$ 中， $∠ B A F$ 的平分线 $A D$ 交 $B F$ 于点 $D$ ．请你从以下两个条件：① $∠ A F D = 2 ∠ B$ ；② $A B = A F + F D$ 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B ， D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的两点， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C}$ ，连接 $A D ， C D ， A B ， B C ， B C$ 与 $A D$ 相交于点 $E$ ，且 $A E = 2 C D$ ，求证： $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{B D}$ ．

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16、无规矩不成方圆．所有参与交通出行的行人或者驾驶人，都必须遵守国家制定的交通规则．现规定所有电动车、三轮车等，均需要“一盔一带”方能上路，所以头盔作为电动车是必不可少的．某店铺引进一批进价为 $20$ 元/个的头盔，如果以单价 $30$ 元出售，那么一个月内售出 $180$ 个，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 $1$ 元，月销售量将相应减少 $10$ 个，设每个头盔涨价了 $x$ 元，每天的销售利润为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并计算每个头盔涨价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)、若月销售利润恰好为 $1920$ 元，且尽量减少库存，求每个头盔的售价．

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17、梅州客家围屋作为闻名文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社准备了四样代表性的客家美食，随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图（不完整）如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次抽取的游客总人数为______， $a =$ _______；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率．

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18、如图是1个一次性纸杯和7个整齐叠放成一摞的纸杯的示意图，纸杯的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度 $y$ （单位： $cm$ ）随着纸杯的数量 $x$ （单位：个）的变化规律．小亮经过测量得到 $y$ 与 $x$ 之间的对应数据如下表所示．
$x /$ 个
1
3
5
7
$y /cm$
8
9
10
11

(1)、依据测量的数据，写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并说明理由；

(2)、若整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度不超过 $22.5 cm$ ，则此时纸杯的数量最多为多少个？

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19、如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ．

(1)、在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 所在的平面内求作直线 $l$ ，使得 $l ∥ l_{1} ∥ l_{2}$ ，且 $l$ 与 $l_{1}$ 间的距离恰好等于 $l$ 与 $l_{2}$ 间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（ $1$ ）的条件下，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离为4，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别在 $l$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上，且 $△ A B C$ 以 $∠ A$ 为直角的等腰直角三角形，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x - 2 + k = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、化简分式 $(1 - \frac{1}{k - 3}) \div \frac{k - 4}{k^{2} - 6 k + 9}$ ，并求出其取值范围．

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$x /$ 个	1	3	5	7
$y /cm$	8	9	10	11