相关试卷

1、计算 $8^{2025} \times {(- \frac{1}{8})}^{2026}$ 是（）

A、8 B、 $- 8$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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2、 $10^{m} = 2, 10^{n} = 3$ ，则 $10^{3 m + 2 n - 1}$ 的值为（）

A、71 B、7.1 C、7.2 D、72

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3、定义运算 $★$ 为：若 $a^{b} = N$ （其中： $a > 0$ ， $a \neq 1$ ，以下同），则 $a ★ N = b$ ．如 $2^{3} = 8$ ，则 $2 ★ 8 = 3$ ．设 $a ★ m = x$ ， $a ★ n = y$ ，则 $a ★ (m n) =$ （）

A、 $x y$ B、 $x + y$ C、 $x - y$ D、 $|x - y|$

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4、下列语句中：（1）16的平方根是4；（2） $\sqrt{16}$ 的平方根是 $\pm 4$ ；（3） $\sqrt{16} = \pm 4$ ；（4） $\sqrt{{(- 7)}^{2}} = - 7$ ；（5）125的立方根是 $\pm 5$ ；（6） $\sqrt{2}$ 是2的平方根，正确的个数是（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5、下列运算正确的是（）

A、 $m^{2} + m^{3} = m^{5}$ B、 $m^{6} \div m^{2} = m^{3}$ C、 ${(2 m^{3})}^{2} = 4 m^{5}$ D、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{5}$

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6、计算 $\sqrt{16}$ 的算术平方根为（）

A、 $\pm 4$ B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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7、估算 $\sqrt{26} + 1$ 的值在（）

A、 $5$ 和 $6$ 之间 B、 $6$ 和 $7$ 之间 C、 $7$ 和 $8$ 之间 D、 $8$ 和 $9$ 之间

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8、如果将一副三角板按如图的方式叠放，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $85 °$ B、 $95 °$ C、 $105 °$ D、 $120 °$

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9、下列能表示 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的高的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、综合与实践
【问题提出】
原题呈现(人教版九年级下册85页第14题)
如图13-1，在锐角 $△ A B C$ 中，探究 $\frac{a}{s i n ∠ B A C}$ ， $\frac{b}{s i n ∠ A B C}$ ， $\frac{c}{s i n ∠ A C B}$ 之间的关系.

(1)、【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
如图1，过点A作 $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，过点B作 $B E ⊥ A C$ ，垂足为E.
在 $R t △ A B D$ 中 $s i n ∠ A B C = \frac{A D}{c}$     ∴ $A D = c \cdot s i n ∠ A D C$
在 $R t △ A D C$ 中 $s i n ∠ A C B = \frac{A D}{b}$     ∴ $A D = b \cdot s i n ∠ A C B$
∴ $c \cdot s i n ∠ A B C = b \cdot s i n ∠ A C B$     即 $\frac{b}{s i n ∠ A B C} = \frac{c}{s i n ∠ A C B}$
同理在 $R t △ A E B$ 中 $B E =$
在 $R t △ B E C$ 中 $B E =$
∴=
即 $\frac{a}{s i n ∠ B A C} = \frac{c}{s i n ∠ A C B}$
$∴ \frac{a}{s i n ∠ B A C} = \frac{b}{s i n ∠ A B C} = \frac{c}{s i n ∠ A C B}$ ；

(2)、【结论应用】
如图 2，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A = 7 0^{°}$ ， $∠ B = 5 0^{°}$ .求 AC， BC 的长.（结果保留小数点后一位；参考数据： $s i n 5 0^{°} \approx 0.77, s i n 7 0^{°} \approx 0.94$ ）

(3)、【深度探究】
如图3， $⊙ O$ 是锐角 $△ A B C$ 的外接圆，半径为 R.
求证： $\frac{a}{s i n ∠ B A C} = \frac{b}{s i n ∠ A B C} = \frac{c}{s i n ∠ A C B} = 2 R$ .

(4)、【拓展应用】
如图 4，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{°}$ ， $∠ B = 4 5^{°}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径的 $⊙ O$ 分别交 AB， AC 于点 E， F，连接 EF. 则线段 EF 长度的最小值是.

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11、如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为 $y = a x^{2} - 4 a x (a < 0)$ ，点A的坐标是(-1，0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转 $9 0^{°}$ ，得到点A'.

(1)、直接写出A'点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)、当 $3 \leq x \leq 5$ 时，y有最大值为 $1 - 2 a$ ，求抛物线的解析式；

(3)、在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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12、西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫.某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区.若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元.

(1)、求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？

(2)、该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？

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13、近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.

(1)、【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，请回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是；

(2)、扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是；

(3)、【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？

(4)、【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.

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14、如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将 $△ E D C$ 沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG.

(1)、求证： $△ A D C ≅ △ F D C$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{5}$ ，求AG的长.

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15、先化简，再求值： $\frac{m^{2} - m}{m^{2} + 2 m + 1} \div (\frac{2}{m + 1} - \frac{1}{m})$ ，其中m满足 $m (m + 4) = - 4$ .

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16、

(1)、计算： $\sqrt[3]{- 8} - \sqrt{28} + | 2 - \sqrt{7} |$ .

(2)、化简： $(2 a + b)^{2} - (2 a + b) (2 a - b)$ .

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17、如图1，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，动点P从点A出发，沿着 $A \to B \to C$ 的路径运动到点C停止，过点P作 $P Q ⊥ A C$ ，垂足为Q. 设点P的运动路程为x， $P Q - A Q$ 的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长为.

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18、在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点P在过原点的直线l上，且 $A P = O P = 4$ ，则直线l的解析式是.

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19、如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边 $△ A B F$ ，再以点A为圆心， AE长为半径画弧. 若 $A B = 3$ ，则阴影部分的面积是.

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20、若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值.

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