相关试卷

1、我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程 $2 x - 3 = 1$ 与不等式 $x + 3 > 0$ ，当 $x = 2$ 时， $2 \times 2 - 3 = 1$ 与 $2 + 3 = 5 > 0$ 同时成立，则称 $x = 2$ 是方程 $2 x - 3 = 1$ 和不等式 $x + 3 > 0$ 的“梦想解”．

(1)、方程 $x + 2 = 3$ 与不等式 $2 x + 1 \leq 4$ 的“梦想解”是______；

(2)、已知① $x - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}$ ， ② $2 (x + 3) < 4$ ， ③ $\frac{x - 1}{2} < 3$ ，则方程 $2 x + 3 = 1$ 的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号）

(3)、若关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = m + 2 \\ 2 x - y = m - 5 \end{array}$ 与 $- 5 \leq x + y \leq 1$ 有“梦想解”，求m的取值范围．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $C A$ 延长线上一点， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A D F$ 是等腰三角形；

(2)、如图，过点 $A$ 作 $A H$ 垂直 $D E$ 于点 $H$ ，若 $A F = B F = 5$ ， $B E = 3$ ．求线段 $D E$ 的长．

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3、某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元．

(1)、求每个篮球、足球分别为多少元？

(2)、该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？

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4、如图，在边长为单位 $1$ 的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

(1)、画出 $△ A B C$ 关于坐标原点的中心对称三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ 写的坐标．

(2)、算出 $△ A B C$ 的面积．

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5、解不等式组： $\{\begin{matrix} 4 x - 2 \geq x + 2 \\ x + 5 < 3 x + 1 \end{matrix}$ ，并在数轴上表示出解集．

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6、如图， $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $∠ A O P = 15 °$ ， $P C ∥ O A$ ， $P D ⊥ O A$ 于点 $D$ ， $P C = 4$ ，则 $P D =$ ．

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7、如图，直线 $l_{1}$ ： $y = k x + 4$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = x + b$ 的图像交于点 $(2, 3)$ ，则关于x的不等式 $x + b \geq k x + 4$ 的解集为．

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8、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点P在边 $B A$ 的延长线上， $P E ⊥ A C$ 交 $C A$ 的延长线于点 $E$ ，点 $Q$ 在边 $B C$ 上， $C Q = P A$ ，连接 $P Q$ 交 $A C$ 于点D，结论① $A B = 2 D E$ ， ② $D E = D C$ ， ③ $P D = D Q$ ， ④ $P Q ⊥ B C$ ，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ， $B P ⊥ A C$ 于点P， $C P = 1$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、不等式组 $\{\begin{array}{l} x > 2 \\ x \leq - 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、八边形的外角和为（）

A、 $360 °$ B、 $720 °$ C、 $900 °$ D、 $1080 °$

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12、对于数轴上的两条线段 $A B ， C D$ ，给出如下定义：若线段 $A B$ 与线段 $C D$ 上分别存在一点M，N，使得 $M N = \frac{1}{2} (A B + C D)$ ，则称线段 $M N$ 是线段 $A B$ 与线段 $C D$ 的一条“半生线段”．数轴上，点A表示的数为 $- 6$ ，点B表示的数为12．

(1)、下列几组点连成的线段中，线段 $O A$ 与线段 $O B$ 的“半生线段”有（填序号）；
①点M₁表示的数为 $- 3$ ，点N₁表示的数为6；
②点M₂表示的数为 $- 2$ ，点N₂表示的数为7；
③点M₃表示的数为 $- 4$ ，点N₃表示的数为7．

(2)、点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，相遇时停止运动．
①两点出发t秒后，线段 $P Q$ 为线段 $A P$ 与线段 $B Q$ 的“半生线段”，请求出t的值；
②当点P，Q出发时，点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），已知点R为线段AP的中点，是否存在某个时刻t（t为正整数），使得线段 $R Q$ 恰好为线段 $A P$ 与线段 $B Q$ 的“半生线段”？若存在，请求出所有满足题意的m的值；若不存在，请说明理由．

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13、
【发现问题】已知 $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 4 ① \\ 2 x - y = 6 ② \end{cases}$ ，求 $4 x + 5 y$ 的值．
方法一：先解方程组，得出 $x$ ， $y$ 的值，再代入，求出 $4 x + 5 y$ 的值．
方法二：将① $\times 2 -$ ②，求出 $4 x + 5 y$ 的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】为了得到方法二，可以将① $\times m +$ ② $\times n$ ，可得 $(3 m + 2 n) x + (2 m - n) y = 4 m + 6 n$ ．令等式左边 $(3 m + 2 n) x + (2 m - n) y = 4 x + 5 y$ ，比较系数可得 $\{\begin{cases} 3 m + 2 n = 4 \\ 2 m - n = 5 \end{cases}$ ，求得 $\{\begin{cases} m = 2 \\ n = - 1 \end{cases}$ ．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求 $7 x + 7 y$ 的值；
【迁移应用】
（2）对于方程组 $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 4 \\ 2 x + y = 6 \end{cases}$ 利用方法二的思路，求 $8 x + 6 y$ 的值．

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14、某快递企业为提高工作效率，拟购买 $A$ ， $B$ 两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
$A$ 型智能机器人台数
$B$ 型智能机器人台数
总费用／万元
1
3
260

3
2
360
信息二
$A$ 型智能机器人每台每天可分拣快递22万件；
$B$ 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两种型号智能机器人的单价．

(2)、现该企业准备用不超过700万元购买 $A$ ， $B$ 两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？

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15、小亮在解关于x的方程 $\frac{2 x - 1}{5} = \frac{x + m}{2} - 1$ ，去分母时忘记将方程右边的 $- 1$ 乘10，从而求得方程的解为 $x = 4$ ．

(1)、求m的值；

(2)、写出正确的求解过程．

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16、（用一元一次方程解应用题）
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走 $240$ 里，跑得慢的马每天走 $150$ 里．慢马先走 $12$ 天，求快马几天可以追上慢马．

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17、解下列方程组： $\{\begin{array}{l} x - y = 1 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{array}$

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18、解方程： $5 - x = 3 (1 - x)$

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19、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x + a < 1 \\ 1 - 2 x \leq 5 \end{array}$ 有4个整数解，则a的取值范围为．

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20、不等式 $x > - \frac{13}{4}$ 的负整数解的个数是个．

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