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1、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 $M N P Q$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ ．射线 $P M$ 交正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 于点E，记 $△ A E M$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $B E M N$ 的面积为 $S_{2}$ ．若 $A B = \sqrt{5} M N$ ，则 $S_{1} : S_{2}$ 的值是（）

A、 $1 : \sqrt{5}$ B、 $1 : 4$ C、 $1 : 2 \sqrt{5}$ D、 $1 : 5$

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2、已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ ，当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时函数值 $y$ 有最小值 $- 3$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ 或 $- \frac{1}{4}$ D、 $2$

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3、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (2, 0)$ ， $D (6, 0)$ ， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，原点 $O$ 是位似中心．若 $△ A B C$ 的周长表示为 $C$ ，则 $△ D E F$ 的周长表示为（）

A、 $3 C$ B、 $6 C$ C、 $9 C$ D、 $12 C$

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4、如图，在平面直角坐标系中， $A (0, 4)$ ， $B (- 3, 0)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，且四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B C = 5$ ．

(1)、点 $D$ 的坐标是_____________；平行四边形 $A B C D$ 的面积是_____________；

(2)、平面内有一点 $P (3, 5)$ ，求经过 $P$ 点且平分平行四边形 $A B C D$ 面积的直线解析式；

(3)、点 $M$ 是直线 $A C$ 上一动点，在 $x$ 轴上是否存在点 $N$ ，使以 $O$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)、若一次函数 $y = k x - 4 k - 3$ 的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出 $k$ 的取值范围______________．

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B D C =90 °$ ， $E$ 是 $A D$ 边上一点，延长 $B E$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、已知① $A E = D E$ ；② $B F = B C$ 两个条件，请你从中选择一个能证明四边形 $A B D F$ 是矩形的条件，并写出证明过程；

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，直接写出四边形 $A B C F$ 的面积．

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6、如图，一次函数 $y = 3 x + 9$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象交于点 $C (n, 12)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、连接 $O C$ ，点 $P$ 是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点 $C$ 重合），过点 $P$ 作 $P Q ∥ x$ 轴，交线段 $O C$ 于 $Q$ ．若 $\frac{C Q}{C O} = \frac{1}{4}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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7、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点A作 $⊙ O$ 的切线 $A D$ ，连接 $B D$ 交 $⊙ O$ 于点C．连接 $C O$ ，过点B作 $C O$ 的垂线交其延长线于点E，交 $⊙ O$ 于点F，连接 $A F$ ．

(1)、求证： $∠ C B E = ∠ D$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4， $A F = 2$ ，求 $A D$ 的长．

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8、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，且 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 两点分别与 $B$ ， $C$ 两点对应，延长 $B C$ 与 $B^{'} C^{'}$ 边交于点 $E$ ，求 $∠ C E C^{'}$ 的度数．

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9、某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为 $(3 x + 4)$ 米，宽度为 $(3 x - 4)$ 米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题：

(1)、走道外圈的周长为________米；

(2)、走道的面积是多少？

(3)、如果 $x = 2$ ，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用．

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10、计算题

(1)、 $- 1^{2022} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(π - 3.14)}^{0}$ ；

(2)、 $(1 - x) (x + 1) - {(2 x - 3)}^{2}$ ；

(3)、 ${(- 3 x y^{2})}^{2} \cdot (- 6 x^{3} y) \div (9 x^{4} y^{5})$ ；

(4)、 $2020 \times 2022 - 2021^{2}$

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11、如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点 $A$ 行驶至终点 $B$ ，过点 $A$ 、 $B$ 的两条切线交于点 $C$ ，机动车在从点 $A$ 到点 $B$ 行驶过程中的转角为 $α$ ．若这段圆弧的半径 $O A = 6$ m， $α = 60 °$ ，则图中危险区（阴影部分）面积为 $m^{2}$ ．

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12、若关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 3 \\ a x - b y = - 5 \end{array}$ 和关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 11 \\ b x - a y = 1 \end{array}$ 有相同的解，则 $a + b$ 的值为．

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13、如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形⋯按此规律，第506个图案中有个正三角形．

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14、若 $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{a} =$ ．

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15、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ C = 90 °$ ，动点P沿 $A \to B \to C$ 的路线运动，到点C时停止．设点P运动的路程为x， $D P = y$ ， y与x的函数图象如图2所示，若点 $M (a, 4)$ 是最低点，则 $B C$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、2

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16、当 $k > \frac{1}{2}$ 时，直线 $y = k x - k$ 与直线 $y = - \frac{1}{k} x + 2$ 的交点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $A B - B E$ 向终点 $E$ 匀速运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ， $E P$ 的长为 $y$ ， $y$ 随 $t$ 的变化图象如图2所示，则下列说法错误的是（）

A、 $A B = 6$ B、 $a = 8$ C、当 $t = 6$ 时， $y = 4$ D、 $S_{矩形 A B C D} = 48$

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18、如图，点A、B、C在 $⊙ O$ 上， $O A ∥ B C$ ，连接 $B O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点D，连接 $A C$ 、 $D C$ ．若 $∠ D = 40 °$ ，则 $∠ A C B$ 的大小为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5 cm$ ， $B C = 10 cm$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $△ A C D$ 的面积为 $7.5 {cm}^{2}$ ，则 $B E$ 的长是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、3 C、4 D、5

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20、已知非负实数x，y满足 $3 x + y - 4 = 0$ 和 $2 x - y + z = 0$ ，则下列式子正确的是（）

A、 $x - z = 4$ B、 $0 \leq x \leq 1$ C、 $5 y - 3 z = 8$ D、 $z \geq 0$

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