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1、在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．

(1)、点 $A (- 3, 5)$ 的“长距”为______；

(2)、若点 $C (- 2, b - 2)$ 的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点 $D (9 + 2 b, - 5)$ 是否为“角平分线点”，并说明理由．

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2、计算和解方程组．

(1)、计算 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ ．

(2)、计算 $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) - {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ ．

(3)、解方程组： $\{\begin{matrix} - 2 x + 3 y = 1 \\ 2 x - y = - 3 \end{matrix}$ ．

(4)、解方程组： $\{\begin{matrix} \frac{x + 2}{3} - y = 0 \\ 2 x - 3 y = 5 \end{matrix}$ ．

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3、已知x、y满足方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ x + 2 y = 6 \end{array}$ ，则 $3 x + y$ 的值为．

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4、已知点 $(- 4, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ ， $(- 1, y_{3})$ 都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + c$ （c为常数）上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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5、下列说法正确的是（）

A、 $- a$ 一定没有平方根 B、立方根等于它本身的数是0，1 C、 $\sqrt{36}$ 的算术平方根是6 D、25的平方根是 $\pm 5$

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6、下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{8}$ B、 $\sqrt{15} \div \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、（ $2 \sqrt{3}$ ）²＝6 D、 $\sqrt{2^{2} + 3^{2}}$ ＝5

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7、台风“桦加沙”破坏性极大，气象台为了预报台风，首先要确定台风中心位置．下列表述能确定台风“桦加沙”的中心位置的是（）

A、距深圳市 $260 km$ B、北纬 $21.2 °$ ，东经 $113.8 °$ C、离学府中学比较近 D、深圳市东偏南方向

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8、下列实数中，是无理数的是（　　）

A、 $1.010010001$ B、 $\frac{22}{7}$ C、 $\sqrt[3]{64}$ D、 $- \sqrt{3}$

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9、匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长 $1 .8m$ ，宽 $0 .8m$ ，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为 ${2m}^{2}$ ．设外框的宽度为 $x m$ ，根据题意可列方程为（）

A、 $(1.8 + x) (0.8 + x) = 2$ B、 $(1.8 - x) (0.8 - x) = 2$ C、 $(1.8 + 2 x) (0.8 + 2 x) = 2$ D、 $(1.8 - 2 x) (0.8 - 2 x) = 2$

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10、正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}$ ， $A_{2} B_{2} C_{2} A_{3}$ ， $A_{3} B_{3} C_{3} A_{4}$ ， $\dots$ ，按如图所示的方式放置，点 $A_{1}, A_{2}, A_{3} \dots$ 和点 $B_{1}, B_{2}, B_{3} \dots$ 分别在直线 $y = x + 1$ 和 $x$ 轴上，则点 $C_{2026}$ 的纵坐标是．

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11、如图，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点， $B C$ 的延长线交 $△ A D C$ 的外接圆于点 $E$ ，作 $A F ∥ B E$ 交圆于点 $F$ ，连结 $D F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，记 $k = \frac{D C}{B C}$
【认识图形】（1）求证： $∠ A C B = ∠ C D F$ ．
【探索关系】（2）求证： $D F = k A C$ ．
【问题解决】（3）若点 $M$ 与点 $E$ 关于 $C F$ 对称
①当 $\frac{A F}{C E} = \frac{3}{2}$ 时，求 $k$ 的值．
②若 $A F = 1$ ，求 $k$ 的最大值．

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12、我们定义一种新函数：形如 $y = |a x^{2} + b x + c| (a \neq 0, b^{2} - 4 a c > 0)$ 的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数 $G : y = |x^{2} - x - 6|$ 的图象（如图所示）

(1)、直接写出经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个点的二次函数表达式；

(2)、当函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，求 $x$ 的取值范围；

(3)、当直线 $y = - x + m$ 与函数 $G$ 的图象有2个交点时，求 $m$ 的取值范围．

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13、数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数 $y_{1} = - a {(x + m)}^{2} + n$ 与 $y_{2} = a {(x - m)}^{2} - n$ ， $(a \neq 0)$ ，我们把具有这样特点的函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 称为互利函数．
【总结归纳】

(1)、填空： $y_{1}$ 的顶点坐标为______， $y_{2}$ 的顶点坐标为______．
【知识应用】

(2)、求 $y = 3 x^{2} - 6 x - 1$ 的互利函数解析式；

(3)、已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 经过它的互利函数 $y_{2} = - a {(x + h)}^{2} + k$ 的图象的顶点 $N$ ，设 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $M$ ．若 $a = 1$ ， $b = 2$ ．求证：这两个函数的图象的交点为 $M$ 、 $N$ ．

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14、如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是半圆 $O$ 上的两点，且 $O D ⊥ A C$ ， $O D$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ C A B = 20 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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15、如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．

(1)、他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；

(2)、求小明从中间通道进入A密室的概率．

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16、已知，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 经过 $(1, - 4)$ ， $(- 1, 0)$ 两点．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、若 $y \geq 0$ ，求 $x$ 的取值范围．

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17、在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中， $x$ 轴上方区域存在沿 $y$ 轴负方向的匀强电场， $x$ 轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从 $A$ 处射出，先沿抛物线 $y = - \frac{1}{18} x^{2} + h$ 运动至点 $B$ ，再沿弧 $B Q O$ 运动至点 $O$ ． $E$ 为弧 $B Q O$ 所在圆的圆心，连接 $O E$ ．已知点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{3}{2}, - \frac{21}{2})$ ， $tan ∠ O Q B = \frac{4}{3}$ ，则 $sin ∠ E O B =$ ， $O A$ 的长为．

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18、如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的内角度数为．

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19、“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度 $h$ （m）与飞行时间 $t$ （s）满足的关系为 $h = - t^{2} + 12 t + 1$ ．当“水火箭”的升空高度为 $37 m$ 时，此时的飞行时间为．

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20、一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 $A C$ ， $B D$ 都是同一条抛物线的一部分， $A B$ ， $C D$ 都与水面桌面平行，已知水杯底部 $A B$ 宽为 $4 \sqrt{3} cm$ ，水杯高度为 $12 cm$ ，当水面高度为 $6 cm$ 时，水面宽度为 $2 \sqrt{30} cm$ ．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕 $A$ 点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角 $∠ B A F = 30 °$ 时，杯中水面 $C E$ 平行水平桌面 $A F$ ．则此时水面 $C E$ 的值是（　　）

A、 $7 \sqrt{3} cm$ B、 $14 cm$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $12 cm$

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