相关试卷

1、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象经过点 $A (- 1, 1)$ 和 $B (2, 4)$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

(2)、当自变量 $x$ 的值满足 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数图象与 $x$ 轴无交点，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围.

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2、某旅游景区一宾馆重新装修后，有 $50$ 间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为 $160$ 元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加 $10$ 元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出 $60$ 元的各项费用．设每天每间房的定价在 $160$ 元的基础上增加 $x$ 元，宾馆获利为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；

(2)、物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利 $8000$ 元？

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3、如图，游乐园计划在点O处安装一个高 $2 m$ 的喷水头 $O A$ ，使得喷出的水柱正好落到距离O点 $10 m$ 处的B点，且在距离O点 $4 m$ 处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、求出水柱的最高点的高度．

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4、计算： $2 \cos 45 ° + 2 \sin 30 ° + \tan 60 ° + {(- 1)}^{2025}$ ．

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5、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = 3, B C = 4$ ，斜边 $A B$ 上一点 $E$ 满足 $A E = A C$ ，连结 $E C$ ，点 $F$ 是射线 $C E$ 上的点，连结 $B F, △ B E F$ 的一个内角与 $∠ A$ 相等，则 $E F$ 的长为．

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6、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线，点 $A$ 为切点， $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $A D$ ， $C D$ ， $O A$ ，若 $∠ A D C = 28 °$ ，则 $∠ A B O$ 的大小是 $°$ ．

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7、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点为 $D (- 1, 2)$ ，与 $x$ 轴的一个交点 $A$ 在点 $(- 3, 0)$ 和 $(- 2, 0)$ 之间，其部分图象如图，则以下结论：① $a b c < 0$ ；②若方程 $a x^{2} + b x + c - m = 0$ 没有实数根，则 $m > 2$ ；③ $3 b + 2 c < 0$ ；④图象上有两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 和 $Q (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ 且 $x_{1} + x_{2} < - 2$ ，则一定有 $y_{1} > y_{2}$ .正确的是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、②③

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8、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 3 A B$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上， $E F ⊥ B D$ 于点 $F$ ，且 $E F$ 平分 $∠ B E D$ ，若 $D F = 6$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、5

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9、如图，已知点D，E分别在 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ．若 $D E = 2 k$ ， $B C = 3 k$ ， $B D = 4$ ，则 $A D$ 的长是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10、生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 $a$ 与全身 $b$ 的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中 $a$ 是 $1.2$ 米，则 $b$ 大约是（）

A、 $1.84$ 米 B、 $1.94$ 米 C、 $2.04$ 米 D、 $2.14$ 米

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11、冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿 $m$ 根大串和 $n$ 根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为．

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12、如图，点C在线段 $A B$ 的延长线上， $B C = 2 A B$ ，点D是线段 $A C$ 的中点， $A B = 2 cm$ ，则 $B D$ 的长度是（　　）

A、 $3 cm$ B、 $2.5 cm$ C、 $1.5 cm$ D、 $1 cm$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A C$ 于点D，连接 $B D$ ，若 $A D = 2$ ，则 $A C$ 的长为．

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14、阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式 $x + a ， x + b ， x + c ， x + d$ (a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．
例如：对于多项式 $x + 1, x + 2, x + 5, x + 6$ ，因为 $(x + 1) (x + 6) - (x + 2) (x + 5) = (x^{2} + 7 x + 6) - (x^{2} + 7 x + 10) = - 4$ ，所以多项式 $x + 1, x + 2, x + 5, x + 6$ 是一组平衡多项式，其平衡因子为 $|- 4| = 4$ ．
任务：

(1)、小明发现多项式 $x + 3, x + 4, x + 6, x + 7$ 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下： $(x + 3) (x + 7) - (x + 4) (x + 6)$ ，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子．

(2)、判断多项式 $x - 1, x - 2, x - 4, x - 5$ 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由．

(3)、若多项式 $x + 2, x - 4, x + 1, x + m$ (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值．

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15、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O，点E在对角线AC上，连结BE， OE，OB， ∠CBE=∠ABD.

(1)、求证： △ABE∽△DBC.

(2)、若∠BOE=∠AEB，判断△BED的形状，并说明理由.

(3)、如图2，在 (2) 的条件下， BD为⊙O的直径.
①若∠ABE=30°， AB=2，求AC的长.
②求cos∠ABE的最小值.

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16、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ (a， b， c为常数) 经过点(0， 1)， (2， 0).

(1)、求2a+b的值.

(2)、若抛物线先向下平移1个单位，再向左平移1个单位后经过原点，求原图象与x轴的另一个交点坐标.

(3)、当 ab<0， - 1≤x≤1时， y的最大值为3，求b的值.

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17、如图1， AB是⊙O的直径，延长AB至点C，以C为圆心， CO长为半径作弧，再以O为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D.连结OD，交⊙O于点E.

(1)、求证：直线CE是⊙O 的切线.

(2)、如图2，连结DB， DC，若DB=DC， OA=1，求OC的长.

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18、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点均落在格点上.
⑴△ABC绕点A 逆时针旋转90°至△ADE，画出△ADE.(点B的对应点为点 D)
⑵请用无刻度的直尺，在AC上画出点F，使得. $A F > C F, ∠ B F D = 13 5^{\circ} .$

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19、图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点A 和点 C在同一水平线上，已知AB⊥CD于点 B， AE⊥l于点 E， CF⊥l于点 F.若AB=20分米， ∠BAE=109°.(参考数据： sin19°≈0.33， cos19°≈0.95， tan19°≈0.34)

(1)、求 BC的长.

(2)、碓工作时举起到最高处如图3所示，此时. $∠ B A E = 12 8^{\circ},$ 求点C上升的高度.

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20、某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长>50m)，中间用一道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m²).

(1)、求矩形饲养室的宽.(用含x的代数式表示)

(2)、求y关于x的函数表达式，并求出面积的最大值.

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