相关试卷

1、我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3 ， a_{3} = 6 ， a_{4} =$ 10，…，那么 $a_{4} + a_{11} - 2 a_{10} + 10$ 的值是.

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2、求积有方
古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数相乘的积的公式，其中一种可用现代符号写成： $a b = \frac{{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{4} .$
即计算 ab时，先从平方数表中分别查出a+b与a-b的平方的值，再根据以上公式计算，起到简化运算的作用.
另一种公式是查出a，b，a+b的平方的值计算 ab 的值，请你写出这个公式：.

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3、我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”.如 $16 = 5^{2} - 3^{2} ，$ 则16称为智慧数.
请判断：在自然数列中，从数1起，第2000个智慧数是哪个数?

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4、

(1)、已知 $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z + 14 = 0 ，$ 求x+y+z 的值.

(2)、 $26 = 5^{2} + 1^{2} ， 53 = 7^{2} + 2^{2} ， 26 \times 53 = 1378 ， 1378 = 3 7^{2} + 3^{2}$ .
任意挑选另外两个类似26，53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?

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5、老师在黑板上写出三个算式： $5^{2} - 3^{2} = 8 \times 2 ， 9^{2} - 7^{2} =$ $8 \times 4 ， 1 5^{2} - 3^{2} = 8 \times 27 ，$ 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： $11^{2} - 5^{2} = 8 \times 12 ， 1 5^{2} - 7^{2} = 8 \times 22 \dots$

(1)、请你再写出两个具有上述规律的算式.

(2)、用文字写出上述算式反映的规律.

(3)、证明这个规律的正确性.

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6、已知a，b，c 满足a²+2b=7，b²-2c=-1，c²-6a=-17，则a+b+c的值等于( ).

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、如果正整数x，y满足方程 $x^{2} - y^{2} = 64 ，$ 则这样的正整数对(x，y)的个数是.

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8、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M为对角线BD(不含点 B)上任意一点，将BM 绕点 B 逆时针旋转60°得到 BN，连接EN，AM，CM.

(1)、求证：△AMB≌△ENB.

(2)、①当点 M 在何处时，AM+CM 的值最小.
②当点 M 在何处时，AM+BM+CM白的值最小，并说明理由.

(3)、当AM+BM+CM 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ 时，求正方形ABCD 的边长.

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9、
问题背景：如图①，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC交于点 P，连接AP，可推出结论：PA+PC=PE.
问题解决：如图②，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4 $\sqrt{2}$ 点O 是△MNG 内一点，求点 O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值.

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10、如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点A，B 分别在边OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为( ).

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{145}}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点 D 是BC 边的中点，点 P 是AC 边上一个动点，连接 PD，以 PD 为边在 PD 的下方作等边三角形 PDQ，连接 CQ.则 CQ 的最小值是( ).

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、如图，∠AOB=30°，点 M，N 分别是射线OA，OB 上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为.

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13、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点 P 满足 $S_{△ P A B} = \frac{1}{3} S_{稀 A B C D}$ ，则点 P 到A，B 两点的距离之和PA+PB的最小值为.

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14、在已知△ABC 所在平面上求一点F，使它到三角形三顶点的距离之和为最小.
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，这个问题中所求的点被人们称为“费马点”.

(1)、如图①，当△ABC 三内角均小于120°时，F 在△ABC 内部，此时∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°.

(2)、如图②，当△ABC 有一角(不妨设为∠A)≥120°时，F 点与A点重合.

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15、如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

(1)、用含x 的代数式表示AC+CE 的长.

(2)、请问：点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小?

(3)、根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值.

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16、几何模型
条件：如图①，A，B是直线l同旁的两个定点.
问题：在直线l上确定一点 P，使PA+PB 的值最小.
方法：作点 A 关于直线l 的对称点A'，连接A'B交l 于点 P，则PA+PB=A'B 的值最小(不必证明).

(1)、模型应用
如图②，正方形 ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC上一动点，连接BP，则 PB+PE 的最小值是.

(2)、如图③，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点. PO=10，Q，R 分别是OA，OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.

(3)、模型拓展
如图④，某人从 A 地到河边l饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a，最后回到营地 B.此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短?

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17、如图，边长为6 的等边三角形 ABC 中，D 在BC 上，E为对称轴AD 上的一个动点，连接EC，作等边三角形ECF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值为( ).

A、6 B、3 C、2 D、1.5

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18、如图，在等边三角形ABC 中，AB=4，P 是 BC 边上的动点，点 P 关于直线AB，AC 的对称点分别为点M，N，则线段 MN 长的取值范围为.

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19、某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20 min，恢复生产后工作效率比原来提高了 $\frac{1}{3}$ ，结果完成任务时比原计划提前了40 min.则软件升级后每小时生产多少个零件?

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20、观察下列方程及其解的特征：
$(1) x + \frac{1}{x} = 2$ 的解为 $x_{1} = x_{2} = 1 .$
$(2) x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2 ， x_{2} = \frac{1}{2} .$
$(3) x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3 ， x_{2} = \frac{1}{3} .$
……
解答下列问题：

(1)、请猜想：方程 $x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$ 的解为.

(2)、请猜想：关于x的方程 $x + \frac{1}{x} =$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = \frac{1}{a} (a \neq 0) .$

(3)、下面以解方程 $x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$ 为例，验证(1)中猜想结论的正确性.

(4)、解分式方程 $x + \frac{1}{4 x - 6} = \frac{a^{2} + 3 a + 1}{2 a} .$

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