相关试卷

1、在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，垂足为D，点E 为AB 边上一点，点 F 为直线BD 上一点，连接EF.

(1)、将线段 EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段 EG，连接 FG.
①如图①，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C时，连接DG，求线段 DG 的长.
②如图②，点E 不与点A，B 重合，GF 的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+ $B H = \sqrt{3} B F .$

(2)、如图③，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点 N 在边AC上，且DN=2NC，点F从 BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转60°得到线段 EP，连接FP，当 $N P + \frac{1}{2} M P$ 最小时，直接写出△DPN 的面积

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2、如图①，已知点G在正方形ABCD 的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点 F.

(1)、证明与推断：
①求证：四边形CEGF 是正方形.
②推断： $\frac{A G}{B E}$ 的值为 ▲ .

(2)、探究与证明：
将正方形CEGF 绕点C 沿顺时针方向旋转α角( $(0^{\circ} < α < 4 5^{\circ}),$ ，如图②所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、拓展与运用：
正方形CEGF 在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD 于点H.若AG=6，GH=2 $\sqrt{2}$ ，则BC= .

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3、在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点 B(0，3).以点 A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.

(1)、如图①，当点 D 落在BC 边上时，求点 D 的坐标.

(2)、如图②，当点 D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点 H.
①求证：△ADB≌△AOB.
②求点 H 的坐标.

(3)、记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S为△KDE 的面积，求S 的取值范围(直接写出结果即可).

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4、如图，O是正三角形ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 BO'，连接AO'，下列结论：①△BO'A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点 O 与点 O'的距离为4；③∠AOB=150°；(④S四边形AOBO' =6+3 $\sqrt{3}$ $⑤ S_{△ A O C} + S_{△ A O B} = 6 + \frac{9 \sqrt{3}}{4} .$ 其中正确的结论是( ).

A、①②③⑤ B、①②③④ C、①②③④⑤ D、①②③

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5、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=5 $\sqrt{3}$ ，点 P 在线段 BC上运动(含 B，C 两点)，连接 AP，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到 AQ，连接DQ，则线段 DQ的最小值为( ).

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ D、3

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6、如图，射线OM，ON 互相垂直，OA =8，点 B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l上，连接AB，AB=5.将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应的线段A'B'，若点B'恰好落在射线ON 上，则点A'到射线ON 的距离d= .

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7、如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接CD，将CD 绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE 与AC 相交于点F，连接AE.下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD=25°，则∠AED= 65°；
③ $D E^{2} = 2 C F \cdot C A;$
④若AB=3 $\sqrt{2}$ ，AD=2BD，则 $A F = \frac{5}{3} .$
其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).

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8、问题解决
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3.你能求出∠APB 的度数吗?

(1)、小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接 PP'，求出∠APB 的度数.
思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接 PP'，求出∠APB 的度数.请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.

(2)、类比探究
如图②，若点 P 是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC= $\sqrt{11}$ ，求∠APB的度数.

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9、在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF⊥AB 交BD 于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG=CG 且EG⊥CG.

(1)、将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.

(2)、将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段 EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明.

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10、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的点A₁处，则点C的对应点 C₁的坐标为( ).

A、 $(- \frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ B、 $(- \frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ C、 $(- \frac{16}{5}, \frac{12}{5})$ D、 $(- \frac{12}{5}, \frac{16}{5})$

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11、如图，在△ABC 中， $∠ B A C = 12 0^{\circ},$ ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到 $△ D E C,$ ，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( ).

A、∠ABC=∠ADC B、CB=CD C、DE+DC=BC D、AB∥CD

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12、如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O逆时针旋转 $n^{\circ} (0 < n < 90)$ )得到正方形ODEF. DE与BC交于点P，ED的延长线交AB 于点Q，交OA 的延长线于点M，若BQ：AQ=3：1，则AM= .

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13、如图，将 $▱ A B C D$ 绕点A 逆时针旋转到 $▱ A B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，使点 B'落在BC 上，B'C'与CD交于点E.若. $A B = 3, B C = 4, B B^{'} = 1,$ 则 CE 的长为.

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14、

(1)、操作发现
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.
请按要求画图：将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°，点 B的对应点为B'，点C 的对应点为C'，连接BB'.

(2)、在(1)所画图形中，∠AB'B= .

(3)、问题解决
如图②，在等边三角形ABC 中，AC=7，点 P 在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积.
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△AP'B，连接 PP'，寻找 PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系.
想法二：将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP'C，连接 PP'，寻找 PA，PB，PC三条线段之间的数量关系.
……
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程(一种方法即可).

(4)、灵活运用
如图③，在四边形 ABCD 中，AE⊥BC，垂足为点 E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB(k为常数)，求BD 的长(用含 k 的式子表示).

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15、如图①，在Rt△ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E 分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)、问题发现
①当α=0°时， $α = 0^{\circ}$ $\frac{A E}{B D} =$ 。
②当α=180°时， $\frac{A E}{B D} =$ 。

(2)、拓展探究
试判断：当0°≤α≤360°时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明.

(3)、问题解决
当△EDC 旋转到A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.

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16、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于点F，连接DF，G为DF 中点，连接 EG，CG.

(1)、求证：EG=CG.

(2)、将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG.请问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)、将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，请问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)

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17、如图，在 Rt△ABC 中，AB=AC，点 D 为BC 中点，∠MDN=90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM，DN 分别与边AB，AC 交于E，F两点，下列结论：
$① B E + C F = \frac{\sqrt{2}}{2} B C$ ；②S△AEF≤ $\frac{1}{4}$ S△ABC；③ $S_{四边形 A E D F}$ =AD·EF；④AD≥EF；⑤AD 与EF 可能互相平分.
其中正确结论的个数是( ).

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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18、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，若点 P 是△ABC内一点，则 PA + PB + PC 的最小值为.

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19、如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 是锐角，E 是BC 边上的动点，将射线AE 绕点A 按逆时针方向旋转，交直线CD 于点F.

(1)、当AE⊥BC，∠EAF=∠ABC时，
①求证：AE=AF.
②连接BD，EF，若 $\frac{E F}{B D} = \frac{2}{5},$ 求 $\frac{S_{△ A E F}}{S_{菱形 A B C D}}$ 的值.

(2)、当 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ 时，延长 BC 交射线AF 于点 M，延长DC 交射线AE 于点N，连接AC，MN，若AB=4，AC=2，则当CE 为何值时， $△ A M N$ 是等腰三角形.

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20、在△ABC中，E，F 分别为线段AB，AC上的点(不与点A，B，C重合).

(1)、如图①，若EF∥BC，求证： $\frac{S_{△ A E F}}{S_{△ A B C}} = \frac{A E \cdot A F}{A B \cdot A C} .$

(2)、如图②，若EF 不与BC 平行，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

(3)、如图③，若EF 上一点G恰为△ABC 的重心， $\frac{A E}{A B} = \frac{3}{4},$ 求 $\frac{S_{△ A E F}}{S_{△ A B C}}$ 的值.

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