相关试卷

1、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D为 $△ A B C$ 内的一点， $∠ A D B = 120 ° ， ∠ A D C = 90 °$ ，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得 $△ A C E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $A D = D E$ ；

(2)、求 $∠ D C E$ 的度数；

(3)、当 $B D = 1$ ，求 $A D$ 的长．

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2、回答下列小题：
（1）解不等式： $\frac{2 x - 1}{2} - \frac{x + 1}{6} \leq 1$ ．
（2）解不等式组： $\{\begin{array}{l} \frac{x + 1}{3} - 1 \leq x \\ 2 (1 - x) > - 4 \end{array}$ ．

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3、如果关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x - 1 > 3 (x - 1) \\ x > m \end{matrix}$ 无解，那么 $m$ 的取值范围是．

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4、若 $a + b = 5, a b = 6$ ，则 $a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值为．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ 、 $N$ ．作直线 $M N$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ．若 $A B = 7$ ， $A C = 12$ ， $B C = 10$ ，则 $△ B C D$ 的周长为．

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6、如图，将 $△ A B C$ 绕顶点 $A$ 顺时针方向旋转后得到 $△ A E D$ ，此时点 $D$ 恰好落在边 $B C$ 上．若 $A E ∥ B C$ ， $∠ E A C = 108 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $32 °$ C、 $34 °$ D、 $36 °$

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7、请阅读材料：一般地，如果一个正数 $x$ 的平方等于 $a$ ，即 $x^{2} = a$ ，那么正数就叫做 $a$ 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$ （即 $\sqrt{a} = \sqrt{x^{2}} = x$ ），如 $3^{2} = 9, 3$ 叫做9的算术平方根．

(1)、计算下列各式的值： $\sqrt{4} =$ ___________， $\sqrt{25} =$ ___________， $\sqrt{100} =$ ___________．

(2)、观察（1）中的结果， $\sqrt{4}, \sqrt{25}, \sqrt{100}$ 之间存在怎样的关系？写出关系式___________．

(3)、由（2）的猜想： $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =$ ___________（ $a \geq 0, b \geq 0$ ）

(4)、根据（3）计算：① $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ ；② $\sqrt{3} \times \sqrt{\frac{4}{27}}$

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8、
定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作： $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ．
例如： $|\begin{array}{l} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ ．
【基础应用】
（1）求 $|\begin{array}{l} 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \end{array}|$ 的值；
【转化求解】
（2）若 $|\begin{matrix} 2 x & 2 x - 3 \\ x + 1 & x - 2 \end{matrix}| = 9$ ，求x的值；
【拓展延伸】
我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 正向使用，
$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 逆向使用．
在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题．
（3）若 $|\begin{matrix} a + 1 & - b - 1 \\ b - 5 & a - 3 \end{matrix}| = - 13$ ，求 $(a + 1) (b + 1) (b^{2} + 1) (b^{4} + 1) (b^{8} + 1) + 2$ 的个位数．

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9、数学兴趣小组研究三角板中的数学问题，在 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 中， $∠ A C B = ∠ D F E = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 ° ， ∠ D E F = 45 °$ ，且有两条互相平行的直线 $M N ∥ P Q$ ．

(1)、如题1图，将三角尺 $△ A B C$ 的顶点A、B分别置于直线 $M N$ 、 $P Q$ 上，当线段 $A C$ 恰好平分 $∠ N A B$ 时，求证： $B C$ 平分 $∠ A B Q$ ；

(2)、如题2图，将三角尺 $△ A B C$ 的边 $A B$ 与直线 $P Q$ 重合，另一块三角尺 $△ D E F$ 沿 $A C$ 所在直线向上平移，平移后 $△ D E F$ 与直线 $M N$ 交于点G、H．若 $H I$ 平分 $∠ N H D$ ， $D I$ 平分 $∠ A D H$ ，求 $∠ H I D$ 的度数；

(3)、如题3图，初始状态下，三角尺 $△ A B C$ 的顶点A，C与三角尺 $△ D E F$ 的顶点D，E共线，且 $△ A B C$ 的边 $A B$ 与直线 $P Q$ 重合．现让 $△ A B C$ 绕点A以每秒 $5 °$ 的速度顺时针旋转，当边 $A C$ 与直线 $P Q$ 重合时停止运动．在旋转过程中，若 $B C$ 的对应边 $B^{'} C^{'}$ 与 $△ D E F$ 的某一条边平行，直接写出旋转的时间．

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10、
综合与实践
活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系
初步应用
（1）如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：．
拓展创新
（2）仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算 $(2 a + b) (a + b + c)$ ．
迁移应用
（3）若式子 $(2 x + p) (x + p + 1) = 2 x^{2} + 8 x + m$ 无论x为多少时恒成立，求m的值．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，延长 $B C$ 至点D．

(1)、尺规作图：在 $∠ A C D$ 内部作射线 $C E$ ，使得 $C E ∥ A B$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ，判断 $∠ A$ 与 $∠ B$ 的关系，并说明理由．

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12、在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601

(1)、若从口袋里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为（精确到0.01）；

(2)、估算口袋里黑球的个数；

(3)、若向口袋里再放入n个除颜色以外其他完全相同的球，这n个球中白球有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意取出一个球，记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 $50 %$ 附近，估算n的值．

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13、如图， $F G ∥ C D, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ A C B = 70 °$ ．求 $∠ D E C$ 的度数．

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14、先化简，再求值： $[{(x y - 2)}^{2} - 2 (x^{2} y^{2} + 2)] \div (x y)$ ．其中 $x = 1, y = - \frac{1}{2}$ ．

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15、计算：

(1)、 ${(- 2)}^{3} + 2026^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${(- 2 x^{2})}^{3} + x^{2} \cdot x^{4} - {(- 3 x^{3})}^{2}$

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16、如图，两个正方形的边长分别为 $a$ 和 $b$ ，若 $a + b = 4$ ， $a^{2} + b^{2} = 12$ ，则阴影部分的面积为．

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17、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝．

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18、如图，一只蚂蚁在地板上随机爬行，并随意停留在某块方砖上（每块方砖除花色外完全相同）．记“蚂蚁停留在花形（阴影）方砖上”为事件A，则事件A发生的概率是．

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19、已知 $a^{m} = 9 ， a^{n} = 3$ ，那么 $a^{m - n} =$ ．

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20、如图，街道 $A B$ 与 $C D$ 平行，其中一个拐角 $∠ A B C = 150 °$ ，则另一个拐角 $∠ B C D$ 的度数为．

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摸球的次数	100	150	200	500	800	1000
摸到白球的次数	58	96	116	295	484	601
摸到白球的频率	0.58	0.64	0.58	0.59	0.605	0.601