相关试卷

1、
综合与实践
【问题背景】
图1展示了光线反射定律： $E F$ 是镜面 $A B$ 的垂线，一束光线 $m$ 射到平面镜 $A B$ 上，被 $A B$ 反射后的光线为 $n$ ，则入射光线 $m$ ，反射光线 $n$ 与垂线 $E F$ 所夹的锐角相等，即 $∠ 1 = ∠ 2$ ．
【理解原理】
（1）在图1中，请判断 $∠ 3$ 与 $∠ 4$ 的数量关系，并说明理由．
（2）利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图， $A B$ ， $C D$ 是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有 $∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4$ ．为什么进入潜望镜的光线 $E F$ 和离开潜望镜的光线 $G H$ 是平行的？
【尝试探究】
（3）改变两平面镜 $A B, C D$ 之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．图3中， $∠ A B C = α$ ，入射光线 $F E$ 经两次反射后，反射光线 $G H$ 与 $F E$ 平行但方向相反，请直接写出 $α$ 的值．

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2、阅读与探究

下面是张老师给出的例题及解答过程．

已知 $a, b$ 是有理数，并且满足： $\sqrt{3} a + 4 = a + 2 \sqrt{3} + 2 b$ ，求 $a, b$ 的值．

解： $∵ \sqrt{3} a + 4 = a + 2 \sqrt{3} + 2 b$ ，

$∴ \sqrt{3} a + 4 = 2 \sqrt{3} + (a + 2 b)$ ，

根据有理数部分和无理数部分分别对应相等，

可得 $a = 2, a + 2 b = 4$ ，

把 $a = 2$ 代入 $a + 2 b = 4$ ，解得 $b = 1$ ，

$∴ a$ 的值为 $2, b$ 的值为1．

请根据上述方法解答下列问题：

(1)、若有理数

a, b

满足

5 \sqrt{2} + 1 = b + \sqrt{2} a + 3

，求

a, b

的值；

(2)、若有理数

a, b

满足

4 b + \sqrt{3} (2 a - 1) = 1 + 5 \sqrt{3} - a

，求

3 a + 4 b - 3

的平方根．

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3、如图， $A B ∥ C D$ ， $∠ B C D = 70 °$ ， $∠ C B F = 20 °$ ， $∠ B F E = 130 °$ ．

(1)、请补全下面的解答过程，证明 $A B ∥ E F$ ．
证明： $∵ A B ∥ C D, ∠ B C D = 70 °$ ，
$∴ ∠ B C D =$ __________ $= 70 °$ （__________），
$∵ ∠ C B F = 20 °$ ，
$∴ ∠ A B F = ∠ A B C -$ __________ $= 70 ° - 20 ° = 50 °$ ，
$∵ ∠ B F E = 130 °$ ，
$∴ ∠ A B F + ∠ B F E = 50 ° + 130 ° = 180 °$ ，
$∴$ _____ $∥$ $E F$ （__________）．

(2)、若 $∠ C E F = 70 °$ ，求 $∠ A C B$ 的度数．

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4、春天到了，七年级（1）班组织同学到公园春游，出发前李明将部分地点的位置标注在平面直角坐标系中，如图所示，中心广场的坐标为 $(0, 0)$ ，牡丹园的坐标为 $(3, 3)$ ．

(1)、根据以上信息，请在示意图中画出建立的平面直角坐标系；

(2)、请写出下列各地点的坐标：竹林__________，湖心亭__________，西门__________；

(3)、 $(- 2, - 1)$ 表示的位置是__________（填地点名）；

(4)、已知游乐园 $A$ ，音乐台 $B$ 的坐标分别为 $(2, - 2)$ 和 $(0, 4)$ ，请在图中标出 $A$ ， $B$ 的位置．

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5、解方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x = 2 y ① \\ x - y = 6 ② \end{array}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 5 ① \\ x - y = 1 ② \end{array}$

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6、计算：

(1)、 $|- 5| + 2^{2} + 2 \times (- 3)$ ；

(2)、 $3 + |1 - \sqrt{2}| + \sqrt[3]{- 8}$ ．

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7、如图，动点 $A$ 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点 $A_{1} (1, 1)$ ，第二次接着运动到点 $A_{2} (2, 0)$ ，第三次接着运动到点 $A_{3} (3, 2)$ ， ……按这样的运动规律，点 $A_{2026}$ 的坐标为．

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8、点 $A (- 1, 2)$ 在第象限．

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9、若关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = 17 k \\ x - y = 9 k \end{matrix}$ 的解也是二元一次方程 $2 x + 3 y = 6$ 的解，则 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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10、已知 $\sqrt{102.1} \approx 10.1, \sqrt{10.21} \approx 3.2$ ，则 $\sqrt{1.021} \approx$ （）

A、 $0.32$ B、 $0.101$ C、 $0.032$ D、 $1.01$

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11、如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，射线 $O E$ 在 $∠ A O D$ 内部，且 $O E ⊥ O D$ ．若 $∠ A O C = 45 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $155 °$ B、 $145 °$ C、 $135 °$ D、 $125 °$

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12、下列算式中正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{- 1} = - 1$ B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、 $\sqrt[3]{{(- 7)}^{3}} = 7$ D、 $\sqrt{64} = \pm 8$

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13、若点 $P (m + 2, m)$ 在 $x$ 轴上，则点 $P$ 坐标为（）

A、 $(2, 0)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, - 2)$

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14、下列命题中，真命题是（）

A、 $- 1$ 的平方根是 $\pm 1$ B、同旁内角相等 C、对顶角相等 D、和为 $180 °$ 的两个角是邻补角

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15、下列各数为无理数的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt[3]{8}$ C、 $3.14159$ D、 $\sqrt{6}$

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16、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ，若 $D E = 2$ ， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，则 $B E$ 的值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $5$ D、 $2 \sqrt{5}$

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17、如图：已知 $A (a, 0) ， B (0, b)$ ，且a、b满足 ${(a - 2)}^{2} + |2 b - 4| = 0$ ．

(1)、如图1，求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、如图2，点C在线段 $A B$ 上（不与A、B重合）移动， $A B ⊥ B D$ ，且 $∠ C O D = 45 °$ ，求证： $C D = B D + A C$ ；

(3)、如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接 $P B$ ，将线段 $P B$ 绕点P顺时针旋转 $90 °$ 至 $P E$ ，直线 $A E$ 交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断线段 $B Q$ 的长是否为定值．如果是定值，请求出该定值，如果不是定值，请说明理由．

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18、仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式 $x^{2} + 5 x + m$ 有一个因式是 $x + 2$ ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 $x + n$ ，得 $x^{2} + 5 x + m = (x + 2) (x + n)$ ，则 $x^{2} + 5 x + m = x^{2} + (n + 2) x + 2 n$ ，解得： $n = 3, m = 6$ ． $∴$ 另一个因式为 $x + 3, m = 6$ ．

(1)、若二次三项式 $x^{2} - x - 12$ 可分解为 $(x + 3) (x - a)$ ，则 $a =$ ；

(2)、若二次三项式 $2 x^{2} - b x - 6$ 可分解为 $(2 x + 3) (x - 2)$ ，则 $b =$ ；

(3)、已知二次三项式 $6 x^{2} - 7 x - k$ 有一个因式是 $3 x - 2$ ，求另一个因式以及k的值．

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19、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D为 $△ A B C$ 内的一点， $∠ A D B = 120 ° ， ∠ A D C = 90 °$ ，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得 $△ A C E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $A D = D E$ ；

(2)、求 $∠ D C E$ 的度数；

(3)、当 $B D = 1$ ，求 $A D$ 的长．

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20、回答下列小题：
（1）解不等式： $\frac{2 x - 1}{2} - \frac{x + 1}{6} \leq 1$ ．
（2）解不等式组： $\{\begin{array}{l} \frac{x + 1}{3} - 1 \leq x \\ 2 (1 - x) > - 4 \end{array}$ ．

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