相关试卷

1、已知： $∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $E 、 F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上一点，且 $∠ E D F = 60 °$ ，求证： $D E = D F$ ．
方法1：（ $1$ ）已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，那么 $∠ B A C + ∠ E D F =$ ________．
（ $2$ ）要证 $D E = D F$ ，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道 $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，可过 $D$ 做辅助线，过 $D$ 作 $D M ⊥ A B$ ， $D N ⊥ A C$ ，垂足分别为 $M$ ， $N$ ．
（ $3$ ）补全图形，并尝试写出证明过程．
方法2：除了方法 $1$ 外，还可以在角平分线 $A D$ 两侧构造全等三角形，在射线 $A C$ 上取 $A E^{'} = A E$ ，连接 $D E^{'}$ ，并思考 $△ D F E^{'}$ 是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．

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2、研究三角形的角平分线：

(1)、尺规作图：如图1，作 $∠ B$ 的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；

(2)、如图2， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $P$ ，若 $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是________；

(3)、如图3，作 $△ A B C$ 外角 $∠ M B C$ ， $∠ N C B$ 的角平分线交于点 $Q$ ，试探索 $∠ Q$ ， $∠ A$ 之间的数量关系．

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3、如图1， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于D， $C F$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A D$ 于E，交 $A B$ 于F．

(1)、如图1，求证： $△ A E F$ 是等边三角形；

(2)、如图1，若 $B C = 8$ ，则 $C D$ 的长为________．

(3)、取 $A E$ 的中点为G，连接 $F G$ ，如图2，求证： $△ E F G ≌ △ E C D$ ．

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4、如图，A，F，E，C四点在同一条直线上， $A D ∥ B C$ ， $F D ∥ B E$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点O，且 $O B = O D$ ．求证： $△ A D F ≌ △ C B E$ ．

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5、在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折 $△ A B C (A B > A C)$ ，使点C落在边 $A B$ 上的点E处，得到折痕 $A D$ ，把纸片展平，如图1，发现四边形 $A E D C$ 满足： $A E = A C$ ， $D E = D C$ ，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
初步应用：（1）如图1，在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B A C = 84 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，那么 $∠ E D B =$ ________ $°$
性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形 $A E D C$ 的性质进行了研究，如图2，求证：
（2） $△ A E D ≌ △ A C D$ ；
（3） $A D ⊥ E C$ ， $O E = O C$ ．

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6、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 2, 4)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 1, 2)$ ．

(1)、请在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、请在x轴上找一点P，使得 $P B + P C$ 最小，写出点P的坐标________．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $B E$ 是 $A C$ 边上的高， $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ C = 78 °$ ．

(1)、求 $∠ A B E$ 的度数；

(2)、若 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $A D$ 交 $B E$ 于点 $F$ ，求 $∠ E F D$ 的度数．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中 $∠ A = 85 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，现把 $△ C D E$ 沿 $D E$ 斜向上折叠得 $△ C^{'} D E$ ，折叠后产生的夹角 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ ．则 $∠ 2 - ∠ 1 =$ ．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 沿直线l对折后重合，如果 $A D ∥ B C$ ，则下列结论：① $A B ∥ C D$ ；② $A B = C D$ ；③ $A B ⊥ B C$ ；④ $A O = O C$ ．其中正确的是．（只填序号）

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10、在平面直角坐标系中，点 $(2, 3)$ 关于y轴对称的点的坐标为．

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11、如图，三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ．将点C放在直线l上，过点A作 $A D ⊥ l$ 于点D；三角形纸片 $M P N$ 中，顶点P放在直线l上， $∠ M P N = 90 °$ ， $M P = N P$ ．点M与点B重合，过点N作 $N H ⊥ l$ 于点H．若 $D P = 12$ ， $C D = 3$ ， $A D = 4$ ，则 $N H =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D F ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $E$ 是线段 $B C$ 的中点，若 $S_{△ A E C} = 6$ ， $D F = 2$ ， $A C = 7$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、 $3.5$ B、 $4$ C、 $4.5$ D、 $5$

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13、如图， $A D = A B$ ， $A E = A C$ ，添加下列哪一个条件不能使 $△ A D E ≌ △ A B C$ （）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ E = 90 °$ ， $∠ C = 90 °$ C、 $∠ D = ∠ B$ D、 $D E = B C$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C \neq B C$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高， $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ B C$ ，垂足分别是E、F，则图中与 $∠ B$ （ $∠ B$ 除外）相等的角的个数是（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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15、下列说法正确的是（）

A、三角形的高不在三角形内就在三角形外 B、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 C、如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 D、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形

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16、用一条长为 $24cm$ 的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为 $6cm$ ，则该等腰三角形的腰长为（）

A、 $6cm$ B、 $9cm$ C、 $6cm$ 或 $9cm$ D、 $6cm$ 或 $12cm$

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17、“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、中国古代数学成就辉煌，数学著作众多，其中的一部记录了“引入负数及正负数的加减运算法则”，这是世界上至今发现的最早记载．这部数学著作是（）

A、《九章算术》 B、《周髀算经》 C、《算法统宗》 D、《几何原本》

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19、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ 两动点分别在线段 $A D$ 、 $A B$ 上运动，若 $∠ B A C = 40 °$ ，则当 $B E + E F$ 取得最小值时， $∠ B E F$ 的度数为．

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20、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A、在 $A C$ ， $B C$ 两边高线的交点处 B、在 $A C$ ， $B C$ 两边中线的交点处 C、在 $A C$ ， $B C$ 两边垂直平分线的交点处 D、在 $∠ A$ ， $∠ B$ 两内角平分线的交点处

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