相关试卷

1、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $E F$ 过点O，交 $A D$ 于点F，交 $B C$ 于点E．若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A D = 5$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、4 B、6 C、3 D、1.5

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2、如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点A、B的坐标分别为 $(a, 0)$ 、 $(0, b)$ ，顶点C在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点D在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图象上．

(1)、当点C的坐标为 $(2, 8)$ 时，求a、b的值；

(2)、当 $k_{2} > k_{1}$ 时，求a、b应满足什么关系，请说明理由；

(3)、如图2，当 $k_{1} = k_{2}$ 时，在BC的延长线上取一点E，过点E作 $E F ⊥ E B$ 交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为 $E F$ 的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）．

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, ∠ A C B = 30 °$ ，点P在 $A C$ 边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作 $P Q ⊥ B P$ ，交射线 $B C$ 于点Q．

(1)、如图，若点Q在线段 $B C$ 的延长线上， $P C = C Q$ ，探索 $B Q$ 与 $C Q$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图，若点Q在线段 $B C$ 上， $B C = 10$ ， $\frac{P Q}{B P} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $B Q$ 的长．

(3)、如图，若 $A B = 3 \sqrt{3}$ ，求在运动过程中线段 $B Q$ 长度的最小值．

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4、
综合与实践
【问题背景】
某班同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将一张菱形纸片 $A B C D (∠ A D C > 90 °)$ 沿对角线 $B D$ 剪开，得到 $△ D A B$ 与 $△ D B C$ ．
【操作研究】
（1）数韵小组的同学们将图1中的 $△ D B C$ 以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $α$ ，得到如图2所示的 $△ D B^{'} C$ ，连接 $A C$ 、 $B B^{'}$ ，得到四边形 $A B B^{'} C$ ，且发现它是矩形，请你探索 $α$ 与 $∠ A D B$ 之间的数量关系，并证明这个结论．
【深入求索】
（2）理趣小组的同学们在数韵小组发现四边形 $A B B^{'} C$ 是矩形的基础上，量得 $A B = 20 cm$ ， $B D = 24 cm$ ，现将 $△ D B^{'} C$ 沿射线 $C A$ 方向平移 $x cm$ ，得到 $△ D^{'} B^{″} C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ 、 $B B^{″}$ ，使四边形 $A B B^{″} C^{'}$ 恰好为正方形，求x的值．

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5、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A (1, 0)$ 和点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的表达式及顶点 $D$ 的坐标；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上一动点，且在对称轴的右侧，过点 $P$ 作对称轴的垂线，垂足为 $Q$ ．求 $P Q - D Q$ 的最大值，并求此时点 $P$ 的坐标．

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6、如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ C$ ，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点D，且 $D E ⊥ B C$ ，垂足为E， $B E < C E$ ．

(1)、求证： $E D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $E D = 4$ ，求 $B E$ 的长．

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7、注重人工智能教育应用伦理，引导中小学生科学合理使用各类人工智能工具．某校开展了解八年级学生对 $AI$ 工具（豆包、通义千问、 $DeepSeek$ 、可灵）的掌握情况，随机抽取若干名八年级学生，统计每人掌握的 $AI$ 工具数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生掌握 $AI$ 工具数量的人数统计表
掌握AI数量/个
1
2
3
4
人数/人
6
12
$m$
$n$
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出表格中 $m$ 、 $n$ 的值： $m =$ ________， $n =$ ________．

(2)、被抽取的八年级学生掌握 $AI$ 工具数量的中位数为________个．

(3)、本次调查中，掌握 $AI$ 工具数量不小于 $3$ 个的学生被评为“ $AI$ 应用小达人”，若该校八年级有 $500$ 名学生，请估计八年级学生中被评为“ $AI$ 应用小达人”的人数．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作 $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，并连接 $B D$ ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、应用与解决：在（1）的条件下，若 $B D = 3 C D$ ，求 $\tan ∠ A B C$ 的值．

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9、解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 (x - 3) \geq x - 9 \\ \frac{2 x + 5}{3} < 5 - x \end{matrix}$ ，并求出它的正整数解．

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10、如图，矩形 $A B C D$ 是由三个全等矩形拼成的， $A C$ 与 $E B 、 E F 、 H F 、 H G 、 D G$ 分别相交于点 $I 、 J 、 K 、 L 、 M$ ．设 $△ L G M 、 △ J K F 、 △ A B I$ 的面积依次为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，若 $S_{3}$ 的面积为 $27$ ，则 $S_{2} - S_{1}$ 的值为．

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11、如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 $V$ （单位： $m^{3}$ ）变化时，气体的密度 $ρ$ （单位： ${kg/m}^{3}$ ）随之变化．已知密度 $ρ$ 与体积 $V$ 是反比例函数关系．当 $V = 9 m^{3}$ 时，则二氧化碳的密度 $ρ$ 为 ${kg/m}^{3}$ ．

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12、若 $\frac{a}{b} = 2$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为．

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13、计算： $2026^{0} + \sqrt{2} \cos 45 ° =$ ．

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14、已知直线 $l_{1}$ ： $y = x + 1$ 与y轴交于点P，将直线 $l_{1}$ 绕点P顺时针旋转 $15 °$ 得到直线 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2}$ 的函数表达式是（）

A、 $y = \sqrt{3} x + 1$ B、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ C、 $y = \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、如图，五边形 $A B C D E$ 中， $∠ A = 100 °$ ， $∠ B = 115 °$ ， $∠ C = 130 °$ ，则 $∠ D + ∠ E$ 的度数为（）

A、 $195 °$ B、 $185 °$ C、 $175 °$ D、 $165 °$

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16、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a + b > 0$ C、 $|a| > |b|$ D、 $a b > 0$

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17、某商场开展购物抽奖活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有 $10$ 元、 $20$ 元、 $50$ 元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为 $60$ 元的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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18、2026年“春节”期间，某市旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，该市旅游消费超过8亿元，将数据8亿用科学记数法表示是（）

A、 $0.8 \times 10^{8}$ B、 $0.8 \times 10^{9}$ C、 $8 \times 10^{8}$ D、 $8 \times 10^{9}$

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19、下列运算结果为 $m^{8}$ 的是（）

A、 $m^{10} \div m^{2}$ B、 $m^{4} + m^{4}$ C、 $m^{2} \cdot m^{4}$ D、 ${(m^{5})}^{3}$

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20、特殊四边形是初中几何的核心内容，九年级某数学小组围绕“图形变化中的不变性质与最值规律”展开以下探究：

(1)、如图1，正方形 $A B C D$ 的边长是4，点E为边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，过点D作 $D F ⊥ A E$ ，交 $A B$ 于点F，交 $A E$ 于点H．求线段 $F H$ 的长．

(2)、如图2，将正方形 $A B C D$ 拉伸为矩形 $A B_{1} C_{1} D$ ，其中 $A B_{1} = 6$ ， $A D = 4$ ，点 $E_{1}$ 为边 $B_{1} C_{1}$ 上的一个动点，连接 $A E_{1}$ ，过点D作 $D F_{1} ⊥ A E_{1}$ ，交 $A B_{1}$ 于点 $F_{1}$ ，交 $A E_{1}$ 于点H．设 $B_{1} E_{1} = x (0 \leq x \leq 4)$ ， $A F_{1} = y$ ，求y关于x的函数表达式．

(3)、如图3，将矩形 $A B_{1} C_{1} D$ 拉伸为平行四边形 $A B_{2} C_{2} D$ ，其中 $A B_{2} = 6$ ， $A D = 4$ ， $∠ D A B_{2} = 60 °$ ，点 $E_{2}$ 为边 $B_{2} C_{2}$ 上的一个动点（ $B_{2} E_{2} = x$ ， $0 \leq x \leq 4$ ），连接 $A E_{2}$ ，过点D作 $D F_{2} ⊥ A E_{2}$ ，交 $A B_{2}$ 于点 $F_{2}$ ，交 $A E_{2}$ 于点 $H_{2}$ ．当线段 $D H_{2}$ 取得最小值时，求此 $D H_{2}$ 的最小值及x的值．

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掌握AI数量/个	1	2	3	4
人数/人	6	12	$m$	$n$