相关试卷

1、如图，在四边形 $A B C D$ 中 $, A B = A D, E, F$ 分别是 $B C, C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ，求 $∠ B A E, ∠ F A D, ∠ E A F$ 之间的数量关系．小明的方法是：延长 $F D$ 到点 $H$ ，使 $D H = B E$ ，连接 $A H$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D H$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A H F$ ，最后可得出结论：______．

(2)、如图2，若 $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

(3)、如图3，若 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ，点 $E$ 在 $C B$ 的延长线上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上，其他条件不变，求 $∠ F A E$ 与 $∠ D A B$ 之间的数量关系．

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2、阅读下列分解因式的过程：
$1 + x + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2}$ $= (1 + x) + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2}$
$= (1 + x) [1 + x + x (1 + x)]$ $= (1 + x) [(1 + x) + x (1 + x)]$
$= {(1 + x)}^{2} (1 + x)$ $= {(1 + x)}^{3}$ ．
根据上述分解因式的过程，回答下列问题：

(1)、上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次；

(2)、分解因式： $1 + x + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2} + x {(1 + x)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + x {(1 + x)}^{2024}$ ；

(3)、若要分解因式 $1 + x + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2} + x {(1 + x)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + x {(1 + x)}^{n}$ （ $n$ 为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 、 $C E F G$ 均为正方形，其中正方形 $C E F G$ 面积为 $36 {cm}^{2}$ ，若图中阴影部分面积为 $10 {cm}^{2}$ ，求正方形 $A B C D$ 的面积．

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4、小明有一个大正方体铁块，其体积为 $125 {cm}^{3}$ ．

(1)、求这个大正方体铁块的棱长；

(2)、小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为 $98 {cm}^{3}$ ，求另一个小正方体铁块的棱长．

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5、如图， $A B, C D$ 相交于点 $O, ∠ C = ∠ B, C O = B O = 2, A B = 6$ ，求 $O D$ 的长．

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6、计算与化简

(1)、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} + \sqrt[3]{64} - |- \sqrt{81}|$ ；

(2)、 $(4 a^{2} b^{2} - 8 a^{3} b^{2}) \div 2 a b + a b {(2 a + 1)}^{2}$ ．

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7、有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个按图①所示方式摆放，构造一个正方形；其中5个按图②所示方式摆放，构造一个新的长方形．若图①中阴影部分的面积是28，图②中阴影部分的面积是80，则每个小长方形的面积是．

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C, B D$ 与 $A C$ 相交于点 $O, ∠ A D B = ∠ B C A = 90 °$ ，则图中的全等三角形一共有对．

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9、已知一个正数的两个平方根分别是 $1 - 3 a$ 和 $a - 5$ ，则 $a$ 的值是．

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10、如图，点 $D, E$ 分别在线段 $A B, A C$ 上，且 $B E = C D, ∠ B = ∠ C$ ，若 $A E = 4, B D = 3$ ，则 $A C$ 的长为．

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11、已知 $\sqrt{2} (a + b) + 2 a - 5 = 0$ ，其中 $a, b$ 为有理数，则 $a - b$ 的值为（）

A、5 B、0 C、1 D、 $- 5$

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12、已知 $3^{m} \cdot 9^{m} \cdot 27^{m} = 3^{30} \div 81$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{17}{3}$ B、3 C、9 D、 $\frac{13}{3}$

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13、计算 $100^{2} - 99^{2}$ 的结果为（）

A、 $1$ B、 $99$ C、 $100$ D、 $199$

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14、有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的 $x$ 的值为16时，输出的 $y$ 的值为（）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、2

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15、下列命题中，是真命题的是（）

A、 $- 27$ 的立方根是 $- 3$ B、只有正数才有平方根 C、若 $m^{2} = n^{2}$ ，则 $m = n$ D、带根号的数都是无理数

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16、若 $4 < \sqrt{a} < 5$ ，则 $a$ 的值可能是( )

A、17 B、13 C、16 D、25

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17、下列计算正确的是（）

A、 ${(x y)}^{3} = x y^{3}$ B、 $x^{8} \div x^{4} = x^{2}$ C、 $x^{3} \cdot x^{4} = x^{7}$ D、 ${(x^{3})}^{2} = x^{9}$

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18、如图， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ， $∠ B = 30 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $50 °$

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19、9的算术平方根是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、3 D、 $\pm 3$

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20、材料探索（数形结合思想是数学的重要思想）

(1)、探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 $|m - n|$ ，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为 $|3 - 6| = 3$ ； $|x - 2| = 5$ 的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数 $- 3$ 和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使 $|x - 2| = 5$ 成立的x的值为 $- 3$ 或7．求使 $|x - 3| = 5$ 成立的x的值为______．

(2)、探索材料2（填空）：代数式 $|x + 3| + |x - 2|$ 的意义可理解为数轴上表示数x的点到数 $- 3$ 的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数 $- 3$ 的点为点C．要求 $|x + 3| + |x - 2|$ 的最小值，即求 $|B C| + |B A|$ 的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含 $A, C$ 两点）时， $|B C| + |B A| = |A C| = 2 - (- 3) = 5$ ；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时， $|B C| + |B A|$ 的值都不确定，但 $|B C| + |B A| > |A C|$ ，综上， $|x + 3| + |x - 2|$ 的最小值为5．
继续探索当点 $A, C$ 之间再增加一点D时，点B到 $A, C, D$ 三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算．
①求代数式 $|x + 2| + |x - 4|$ 的最小值为______；
②求代数式 $|x + 5| + |x + 1| + |x - 2|$ 的最小值为______；
③求代数式 $|x + 2| - |x - 4|$ 的最小值为______，最大值为______；

(3)、根据以上材料探索所学求： $|x| + |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + \dots + |x - 2023| + |x - 2024|$ 的最小值．

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