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1、如图，矩形ABCD中，AB=4，点E 是边AD 的中点，点 F 是对角线BD上一动点， $∠ A D B = 3 0^{\circ} .$ .连接 EF，作点 D 关于直线EF 的对称点 P.

(1)、若EF⊥BD，求 DF 的长.

(2)、若 PE⊥BD，求 DF 的长.

(3)、直线 PE 交BD 于点Q，若△DEQ 是锐角三角形，求 DF 长的取值范围.

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2、将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转( $α (0^{\circ} < α < 36 0^{\circ})$ ，得到矩形 AEFG.

(1)、如图，当点 E 在BD 上时，求证：FD=CD.

(2)、当α为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

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3、菱形 ABCD 的边长为1，面积为 $\frac{7}{9}$ ，则AC+BD 的值为( ).

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{16}{9}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{32}{9}$

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4、如图，在矩形ABCD 中，点 E 是AD 的中点，∠EBC 的平分线交CD 于点 F.将 $△ D E F$ 沿EF 折叠，点D恰好落在BE 上点M 处，延长BC，EF 交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN 是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF，其中，正确的是( ).

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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5、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E，F 分别在BC，CD 上，若 $A E = \sqrt{5} ， ∠ E A F =$ 45°，则 AF 的长为.

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6、如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE⊥BD 于点E，PF⊥AC 于点F，那么 PE+PF 的值为.

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7、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，BD=2，E，F 分别为AD，CD上的动点(包含端点)，且AE+CF=2，则线段EF 长的取值范围是.

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8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知OA=OC，OB=OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC 于点E，F，连接DE，BF.

(1)、求证：四边形 DEBF 是菱形.

(2)、设AD∥EF，AD+AB=12，BD= $4 \sqrt{3}$ 求AF 的长.

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9、如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，点E，F 分别在边AB，BC上，AE=BF=2，△DEF 的周长为 $3 \sqrt{6}$ ，则AD 的长为( ).

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $C . \sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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10、如图，在矩形 ABCD 中， $A B = 1 ， A D = \sqrt{3} ，$ ， AF 平分∠DAB，过点 C 作CE⊥BD 于点E，延长AF，EC 交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的是( ).

A、②③ B、③④ C、①②④ D、②③④

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11、如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，点 P 从点 B 出发，沿折线 BC—CD 方向移动，移动到点 D停止.在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( ).

A、直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B、直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C、直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D、等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

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12、如图，在▱ABCD中，AD=3，CD=2.连接AC，过点B 作BE∥AC，交 DC 的延长线交于点E，连接AE，交 BC 于点F.若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC 的面积为.

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13、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是.

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14、如图①，正六边形ABCDEF 的边长为a，P 是BC 边上一动点，过 P 作PM∥AB交AF 于点M，作PN∥CD 交DE 于点N.

(1)、①∠MPN= ▲ .
②求证：PM+PN=3a.

(2)、如图②，点O是AD 的中点，连接OM，ON.求证：OM=ON.

(3)、如图③，点 O 是AD 的中点，OG 平分∠MON，判断四边形OMGN 是否为特殊四边形，并说明理由.

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15、在 $▱ A B C D$ 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E，交直线 DC 的延长线于点F.

(1)、在图①中证明：CE=CF.

(2)、若∠ABC=90°，G是EF 的中点(如图②)，直接写出∠BDG 的度数.

(3)、若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG 的度数.

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16、在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，点 P 是射线 BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边三角形APE，点E 的位置随着点 P 的位置变化而变化.

(1)、如图①，当点 E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE，则 BP与CE 的数量关系是， CE 与AD 的位置关系是.

(2)、当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②、图③中的一种情况予以证明或说理).

(3)、如图④，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接BE，若 $A B = 2 \sqrt{3} ，$ $B E = 2 \sqrt{19} ，$ ，求四边形 ADPE 的面积.

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17、如图，四边形 ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点 E，F 分别在边 BC，CD上，且AB=AE，则∠B 等于( ).

A、60° B、80° C、100° D、120°

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18、如图，矩形 ABCD 的对角线相交于 O，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，∠CAE=15°，则∠BOE=.

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19、我们知道平行四边形有很多性质.如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论.

(1)、发现与证明
在 $▱ A B C D$ 中，AB≠BC，将△ABC 沿AC 翻折至△AB'C，连接B'D.
结论1：B'D∥AC；
结论2：△AB'C 与□ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形.
…………
请利用图①证明结论1或结论2(只需证明一个结论).

(2)、应用与探究
在▱ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC 翻折至△AB'C，连接B'D.
如图①，若 $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ A B^{'} D = 7 5^{\circ}$ ，则∠ACB= ， BC=.

(3)、如图②，AB= $2 \sqrt{3}$ ， BC=1，AB'与边CD 相交于点E，求△AEC 的面积.

(4)、已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，当 BC 长为多少时，△AB'D 是直角三角形?

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20、如图，在▱ABCD中，点E 在边 BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点 M. AF⊥BC，垂足为 F. BH⊥AE，垂足为 H，交AF 于点 N.点 P 是AD 上一点，连接CP.

(1)、若 $D P = 2 A P = 4$ ， $C P = \sqrt{17}$ ， $C D = 5$ ，求△ACD 的面积.

(2)、若AE=BN，AN=CE，求证： $A D = \sqrt{2} C M + 2 C E$ .

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