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1、如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $P$ 是线段 $B C$ 上一点，连接 $A P$ ，延长 $B C$ 至点 $Q$ ，使得 $C Q = C P$ ，过点 $Q$ 作 $Q H ⊥ A P$ 于点 $H$ ，交 $A B$ 于点 $M$ ．

(1)、 $∠ P A C = α$ ，求 $∠ A M Q$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、在（1）的条件下，过点 $M$ 作 $M E ⊥ Q B$ 于点 $E$ ，试证明 $P C$ 与 $M E$ 之间的数量关系，并证明．

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2、请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式 $x^{2} + 6 x + 5$ 的最小值．
$x^{2} + 6 x + 5 = x^{2} + 2 \times 3 x + 3^{2} - 3^{2} + 5 = {(x + 3)}^{2} - 4$ ，
$∵$ ${(x + 3)}^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 当 $x = - 3$ 时， $x^{2} + 6 x + 5$ 有最小值 $- 4$ ．
请根据上述方法，解答下列问题：

(1)、求 $m^{2} + 4 m + 3$ 的最小值；

(2)、比较 $3 a^{2} + 10$ 与 $2 a^{2} + 6 a$ 的大小．

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3、已知： $x + y = - 1$ ， $x y = - 6$ ，求下列代数式的值：

(1)、 ${(x - y)}^{2}$ ；

(2)、 $x^{3} y + x y^{3}$ ．

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4、分解因式： $x^{2} (x - 3) + 4 (3 - x)$

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5、计算： $[{(2 x - y)}^{2} - (y + 2 x) (2 x - y) - 2 x y] \div 2 y$

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6、如图， $∠ A O B = 45 °$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别在射线 $O A$ 、 $O B$ ， $M N = 4$ ， $△ O M N$ 的面积为3，则三角形 $O M N$ 的边 $M N$ 上的高是； $P$ 是直线 $M N$ 上的动点，点 $P$ 关于 $O A$ 对称的点为 $P_{1}$ ，点 $P$ 关于 $O B$ 对称的点为 $P_{2}$ ，当点 $P$ 在直线 $N M$ 上运动时，三角形 $△ O P_{1} P_{2}$ 的面积最小值为．

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7、若 $a + 3 b = 4$ ，则 $a^{2} - 9 b^{2} + 24 b + 5$ 的值是．

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8、如图， $O A$ 是 $∠ M O N$ 的平分线，过 $A$ 作一直线分别与 $∠ M O N$ 的两边交于 $B$ 、 $C$ 两点，线段 $B C$ 的垂直平分线交 $O A$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $P$ ．若 $∠ M O N = 54 °$ ，则 $∠ B D P$ 的度数为（）

A、 $54 °$ B、 $63 °$ C、 $66 °$ D、 $72 °$

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9、如图， $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 边于点 $E$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 边于点 $N$ ，若 $∠ B A C = 74 °$ ，则 $∠ N A E$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $32 °$ C、 $36 °$ D、 $37 °$

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10、下面是某同学的作业题：① $4 m^{3} n - 5 m n^{3} = - m^{3} n$ ；② $3 x^{3} \cdot (- 2 x^{2}) = - 6 x^{5}$ ；③ $4 a^{3} b \div (- 2 a^{2} b) = - 2 a$ ；④ ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ ；⑤ ${(- a)}^{3} \div (- a) = - a^{2}$ ．其中正确的个数是（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）

A、 $a (x + y) = a x + a y$ B、 $a^{2} + 1 = a (a + \frac{1}{a})$ C、 $x^{2} - 4 x + 4 = x (x - 4) + 4$ D、 $x^{2} + 5 x = x (x + 5)$

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12、点A，B，C为数轴上的三点，如果点C在点A，B之间，且到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇妙点．例如，如图①，点A表示的数为－3，点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇妙点；又如，表示－2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇妙点．
【知识运用】
如图②，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为6.
(1)表示数_____的点是{M，N}的奇妙点；表示数______的点是{N，M}的奇妙点；
(2)若点P所表示的数为3，点P是{M，N}的奇妙点，则点M、N所表示的数可以是几？M=______，N=_____(写出一组即可)
(3)如图③，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为－10，点B所表示的数为50.现有一动点P从点A出发向右运动，点P运动到数轴上的什么位置时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇妙点？

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13、有这样一道题“如果式子 $5 a + 3 b$ 的值为 $- 4$ ，那么式子 $2 (a + b) + 4 (2 a + b)$ 的值是多少？”爱动脑筋的佳佳同学这样来解：原式 $= 2 a + 2 b + 8 a + 4 b = 10 a + 6 b$ ．我们把 $5 a + 3 b$ 看成一个整体，则原式 $= 2 (5 a + 3 b) = 2 \times (- 4) = - 8$ ．
整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照佳佳的解题方法，完成下面问题：

(1)、已知 $a^{2} - 2 a = 1$ ，则 $2 a^{2} - 4 a + 1 =$ ______；

(2)、已知 $m + n = 2$ ， $m n = - 4$ ，求 $2 (m n - 3 m) - 3 (2 n - m n)$ 的值；

(3)、已知 $a - 2 b = 2$ ， $2 b - c = - 5$ ， $c - d = 9$ ，求 $(a - c) + (2 b - d) - (2 b - c)$ 的值．

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14、如图所示，宽为20米，长为32米的长方形地面上，修筑宽度为x米的两条互相垂直的小路，余下的部分作为耕地，如果要在耕地上铺上草皮，选用草皮的价格是每平米a元，
（1）求买草皮至少需要多少元？（用含a，x的式子表示）
（2）计算a＝40，x＝2时，草皮的费用．

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15、计算：

(1)、 $(\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}) \div (- \frac{1}{12})$ ；

(2)、 $- 1^{4} - (1 - 0.5) \times \frac{1}{3} \times |3 - {(- 3)}^{2}|$ ．

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16、画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“>”连接：0， $- 5 ，$ $- |- 2.5|$ ， $1 \frac{1}{2}$ ， $- (- 4)$ ， $- \frac{1}{3}$ ．

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17、生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 $2^{n}$ 来表示，即： $2^{1} = 2$ ， $2^{2} = 4$ ， $2^{3} = 8$ ， $2^{4} = 16$ ， $2^{5} = 32$ ， …，请你推算 $2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + \cdot \cdot \cdot + 2^{2023}$ 的个位数字是

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18、按如图所示的运算程序，若输入 $m = - 2, n = - 3$ ，则输出y的值为．

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19、已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式 $|a + b| - |a - 1| + |b + 2| =$ ．

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20、若 $5 x^{2 m + 1} y^{2}$ 与 $- 7 x^{5} y^{3 n - 1}$ 是同类项，则 $m =$ ， $n =$ ．

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