相关试卷

1、如图， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 为平面内一点，连接 $C D$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在边 $A B$ 上运动时，过点 $C$ 在 $C D$ 右侧作 $C D ⊥ C E$ ，且 $C D = C E$ ，连接 $B E$ ，求证：
① $△ C A D ≌ △ C B E$ ；
② $B E ⊥ A B$ ；

(2)、如图2，当点 $D$ 在 $△ A C B$ 内部，且 $A D ⊥ C D$ ，以 $C D$ 为直角边，在 $C D$ 右侧作等腰直角三角形 $C D E$ ，且 $∠ D C E = 90 °$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于 $F$ ，证明： $F$ 为线段 $A B$ 的中点；

(3)、如图3，若点 $D$ 为 $A B$ 中点，连接 $C D$ ，过点 $B$ 作 $A C$ 的平行线 $B M$ ， $E$ 为 $B M$ 上一动点，以 $C E$ 为直角边，在线段 $C E$ 左侧作 $C F ⊥ C E$ ， $C F = C E$ ， $C F$ 交 $A B$ 于 $G$ ，连接 $D F$ ， $A F$ ，当线段 $D F$ 最短时，求 $\frac{F G}{C G}$ 的值．

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2、图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．

(1)、【感悟原理】如图1，是用4块完全相同的长方形拼成一个大正方形，4块长方形的长为 $a$ ，宽为 $b$ ，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．

(2)、【应用实践】四月是锦江师一的艺术活动月，两位同学在美术周活动中自制了两个“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为 $(2 a + b)$ 的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形 $A B C D$ 和 $O P D Q$ 分别是边长为 $a$ 和 $\frac{a}{2}$ 的正方形，中间是边长为 $(b - a)$ 的正方形，图3阴影部分是由四块边长为 $a$ 的正方形和一块边长为 $b$ 的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，求裁剪前大正方形红布的面积；

(3)、【拓展思考】如图4，将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形 $A B C D$ 内，中间拼出的四边形 $F N H Q$ 也为正方形．设 $B K = x$ ， $N H = y$ ，若 $A M = 7$ ，阴影部分即四边形 $A F C H$ 的面积为20，求长方形 $A M H P$ 的面积．

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3、若关于 $x$ 的多项式 $2 x + a$ 与 $x^{2} - b x - 2$ 的乘积展开式中不含 $x^{2}$ 项，且常数项为8，

(1)、求 $a$ 与 $b$ 的值；

(2)、化简 $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ ，并求值．

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4、我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形 $△ A B C$ 三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ 且满足 $a < b < c$ ，当 $c = 9$ 时，这样的整边 $△ A B C$ 有个；若 $c = 2 n + 1$ （ $n$ 为正整数）时，这样的整边 $△ A B C$ 有个（用含 $n$ 的代数式表示）．

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5、如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在 $9 \times 9$ 个小方格的雷区中，随机埋藏着n颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷，小明先点一个小方格，显示数字2，其意义是2这个小方格没有地雷，但围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（我们把包含数字2的黑框区域记为 $A$ ）．小明点完第一步之后，小明的第二步随机踩在 $A$ 区域外的某个小方格上，他踩中地雷的概率为 $\frac{1}{6}$ ，则 $n$ 的值为．

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6、计算： ${(- \frac{1}{3})}^{2025} \times {(- 3)}^{2026} =$ ．

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7、“代数推理”是初中数学核心素养关于推理能力的重要体现，其核心是用符号表达规律、基于运算进行论证，强调“从特殊到一般归纳、从一般到特殊演绎”．观察下列等式：
$\frac{1^{2} + 2^{2}}{2} - {(\frac{1 + 2}{2})}^{2} = \frac{5}{2} - \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$ ； $\frac{2^{2} + 3^{2}}{2} - {(\frac{2 + 3}{2})}^{2} = \frac{13}{2} - \frac{25}{4} = \frac{1}{4}$ ；
$\frac{3^{2} + 4^{2}}{2} - {(\frac{3 + 4}{2})}^{2} = \frac{25}{2} - \frac{49}{4} = \frac{1}{4}$ ； $\frac{4^{2} + 5^{2}}{2} - {(\frac{4 + 5}{2})}^{2} = \frac{41}{2} - \frac{81}{4} = \frac{1}{4} \dots \dots$
你能发现什么?

(1)、利用以上规律直接写出结果： $\frac{2025^{2} + 2026^{2}}{2} - {(\frac{2025 + 2026}{2})}^{2} =$ ________；

(2)、我们观察上述等式，猜想一般结论：对任意两个相邻整数，不妨设为 $n$ 和 $n + 1$ ，则这两个整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差为定值吗？如果是，请你通过计算推理，求出这个定值：如果不是，请说明理由；

(3)、通过上述研究，我们猜想：“三个连续整数的‘平方的平均数’与这三个整数的‘平均数的平方’的差是一个定值”．为了探究该结论的一般性，不妨设三个连续整数中最小的整数为 $n$ ，请你通过计算推理，求出这个定值．

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8、如图， $B$ ， $E$ ， $G$ ， $D$ 在同一条直线上， $A C ∥ E F$ ， $∠ A = ∠ F$ ， $A B = D C$ ．求证： $A B ∥ D C$ ．
证明： $∵ A C ∥ E F$ ，
$∴ ∠ A C D = ∠$ ________，（________）
$∵ ∠ A = ∠ F$ ，
$∴ ∠$ ________ $= ∠$ ________，（等量代换）
在 $△ A B G$ 和 $△ C D G$ 中
$\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} ∠________= ∠________ \\ ∠ A G B = ∠ C G D (________) \end{array} \\ A B = C D \end{array}$
$∴ △ A B G ≌ △ C D G$ （________）
$∠ B = ∠ D$ ．（________）
$∴ A B ∥ D C$ ．（________）

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9、先化简再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} + (x + y) (3 x - y) - 3 y^{2}] \div (- 2 x)$ ，其中 ${(x + 2)}^{2} + |y - 1| = 0$ ．

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10、计算：

(1)、 ${(3.14 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - |- 4|$ ；

(2)、 $x^{2} y \cdot (- 3 x^{4} y^{2}) + {(- 2 x^{2} y)}^{3}$ ；

(3)、 ${(x - 3 y)}^{2} - (2 x - y) (2 x + y)$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上一点，按以下步骤作图：

①以点 $A$ 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ；
②以点 $D$ 为圆心，以 $A M$ 长为半径作弧，交 $D B$ 于点 $M^{'}$ ；
③以点 $M^{'}$ 为圆心，以 $M N$ 长为半径作弧，在 $∠ B A C$ 内部交前面的弧于点 $N^{'}$ ；
④过点 $N^{'}$ 作射线 $D N^{'}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ；
已知 $∠ C = 78 °$ ， $∠ B = 62 °$ ，则 $∠ A D E =$ 度．

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12、如图， $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $B C$ ， $A D$ 的中点，若阴影部分即 $△ A E C$ 的面积为3，则 $△ A B C$ 的面积是．

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13、已知 $a^{m} = 4$ ， $a^{n} = 3$ ，则 $a^{m - n} =$ ．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ． $∠ B C D = 25 °$ ，则 $∠ A =$ 度．

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15、若 ${(2 x - 3)}^{2} = 4 x^{2} + a x + 9$ ，则 $a =$ ．

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16、如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（）

A、转动转盘后，出现偶数 B、转动转盘后，出现能被3整除的数 C、转动转盘后，出现比5大的数 D、转动转盘后，出现能被5整除的数

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17、如图，点B、E、C、F在一条直线上， $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ D E F$ ，要使得 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，不能添加的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ B、 $A C = D F$ C、 $B E = C F$ D、 $A C ∥ D F$

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18、如图，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，下列条件中不能判定 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 4 = ∠ 3$ B、 $∠ 1 = ∠ 2$ C、 $∠ B = ∠ 5$ D、 $∠ B + ∠ B C D = 180 °$

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19、下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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20、在如图所示的平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (0, 4) ， B (2, 0) ， C (0, - 1)$ ．

(1)、把 $△ A B C$ 向右平移2个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在图中画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、若点 $D (4, 4)$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，点 $E$ 在 $y$ 轴上，当 $△ A B E$ 的面积是 $△ A B D$ 的面积的二倍时，求点 $E$ 的坐标．

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