相关试卷

1、求若干个相同的有理数 (均不等于 0 ) 的除法运算叫做除方，如 $2 \div 2 \div 2, (- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等. 类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2^{③}$ ，读作“2 的圈 3 次方”， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 记作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“一 3 的圈 4 次方”，一般地，把 $\underset{n ↑ a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ 记作 $a (n)$ ，读作“ $a$ 的圈 $n$ 次方”.

(1)、直接写出计算结果： $2^{③} =$ ， ${(- 3)}^{⑤} =$ ；

(2)、我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
除方 $\to 2^{\oplus} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} \to$ 乘方
仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式.
${(- 3)}^{③}$ = ， $5^{⑤}$ = ， ${(- \frac{1}{2})}^{⑥}$ = ，

(3)、由(2)中的算式归纳：有理数 $a (a \neq 0)$ 的圈 $n (n \geq 3)$ 次方写成幂的形式等于；

(4)、计算 $27 \div {(- \frac{1}{3})}^{⑤} + 2^{③} \div {(- 8)}^{- 1} - {(- 3)}^{3}$ .

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2、计算题：

(1)、 $(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) - (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ ）

(2)、 $\frac{2024}{4 \times 8} + \frac{2024}{8 \times 12} + \frac{2024}{12 \times 16} + \dots + \frac{2024}{2016 \times 2020} + \frac{2024}{2020 \times 2024}$ .

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3、已知关于 $x$ 的绝对值方程 $2 || x - 1 |- 2| = a$ 有三个解，则 $a =$ .

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4、若 $a 、 b 、 c$ 为整数，且 ${|a - b|}^{21} + {|c - a|}^{2021} = 1$ ，则 $|a - b|$ $+ |b - c| + |c - a| =$ .

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5、老师规定 $[x)$ 表示大于 $x$ 的最小整数，如： $[3) = 4$ ， $[- 1.2) = - 1$ ，则下列结论中正确的有(填序号).
① $[0) = 0;$ ② $[x) - x$ 的最小值是 0，
③ $[x) - x$ 的最大值是 1； ④存在有理数 $x$ ，使 $[x] - x = 0.5$ 成立.

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6、如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第 $n$ ( $n$ 为正整数)个图案中白色正六边形比黑色正六边形多个.(用含 $n$ 的代数式表示)

第 1 个图案第 2 个图案第 3 个图案

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7、若 $x 、 y 、 z$ 为互不相等的正整数，且 $x y^{2} z^{3} = 2250$ ，则 $x$ $+ y + z$ 的结果有( )

A、5 种 B、6 种 C、7 种 D、8 种

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8、如果 $M = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \dots \times \frac{97}{98} \times \frac{99}{100}, N = |- \frac{1}{10}|$ ，那么 $M$ 与 $N$ 的大小关系是( )

A、 $M < N$ B、 $M = N$ C、 $M > N$ D、 $M^{2} = N^{2}$

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9、如图，已知数轴上点 $A, B, C$ 所对应的数 $a, b, c$ 都不为 0，且 $C$ 是 $A B$ 的中点，如果 $|a + b| - |a - 2 c| + |b - 2 c| - |a + b - 2 c| = 0$ ，则原点 $O$ 的大致位置在( )

A、 $A$ 的左边 B、 $A$ 与 $C$ 之间 C、 $C$ 与 $B$ 之间 D、 $B$ 的右边

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10、小明在某月的日历上圈出三个数 $a, b, c$ ，并求出它们的和是 42，则这三个数在日历中的位置不可能的是( )

A、 B、 C、 D、

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11、点 $C$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过 $A C$ 的中点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 于点 $H$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ .

(1)、如图，若 $F C$ 也是 $⊙ O$ 的直径，已知 $A B = 6$ ，求 $A C$ 的长.

(2)、如图.
① 求证： $A C = \sqrt{2} A F$ ；
② 若 $A H : H D = 7 : 5$ ，求 $t a n ∠ E F C$ 的值.

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12、已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a (a > 0)$ ，记该函数在 $m \leq x \leq n$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，已知 $M - N = 3$ .

(1)、当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}, n = m + 1$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、已知 $m = t + 2, n = 2 t + 1$ ( $t$ 为整数)，若 $\frac{M}{N}$ 为整数，求 $a$ 的值.

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13、如图， $△ O A B$ 中， $O A = O B, ⊙ O$ 过 $A B$ 中点 $C$ 且与 $O A 、 O B$ 分别交于点 $E 、 F$ .

(1)、求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连结 $D F 、 D C$ ，求证： $∠ E D C = ∠ F D C$ ；

(3)、在(2)的条件下，若 $D E = 10, D F = 6$ ，求 $C D$ 的长.

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14、如图，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，等腰 $△ A D C$ 的顶角 $∠ A D C$ $= 120^{\circ}$ ，点 $M$ 是矩形 $C D E F$ 的对角线 $D F$ 的中点，连接 $M B$ ，若 $A B = 6 \sqrt{3}, A C = 6$ ，则 $M B$ 的最小值为.

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15、如图，平面直角坐标系中， $A (4, 0)$ ，点 $B$ 为 $y$ 轴上一点，连接 $A B, t a n ∠ B A O = 2$ ，点 $C, D$ 为 $O B, A B$ 的中点，点 $E$ 为射线 $C D$ 上一个动点，当 $△ A E B$ 为直角三角形时，点 $E$ 的坐标为.

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16、二次函数 $y = {(x - b)}^{2} + b + 1$ 的图象与一次函数 $y =$ $- x + 5 (- 1 \leq x \leq 5)$ 的图象没有交点，则 $b$ 的取值范围是.

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17、点 $P_{1} (- 2, y_{1}), P_{2} (2, y_{2}), P_{3} (3, y_{3})$ 均在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是(用“ $>$ ”连接).

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的点 (不与点 $B$ 、 $C$ 重合). 过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ；过点 $D$ 作 $D F / / A C$ 交 $A B$ 于点 $F, N$ 是线段 $B F$ 上的点， $B N = 2 N F; M$ 是线段 $D E$ 上的点， $D M = 2 M E$ ，若已知 $△ C M N$ 的面积，则一定能求出( )

A、 $△ A F E$ 的面积 B、 $△ B D F$ 的面积 C、 $△ B C N$ 的面积 D、 $△ D C E$ 的面积

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19、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}, D$ 是 $A B$ 中点， $P$ 是以 $A$ 为圆心，以 $A D$ 为半径的圆上的动点，连接 $P B, P C$ ，则 $\frac{P B}{P C}$ 的最大值为( )

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{13} - 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13} + 1}{4}$

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20、已知抛物线 $y = (x - m) (x - n)$ 中， $m < n$ ；方程 ( $x$ $- m) (x - n) - x = 0$ 有两根 $x_{1}, x_{2}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，若 $(x_{1} - m) (x_{2} - n) > 0$ ，则一定有 ( )

A、 $m n > 0$ B、 $m n < 0$ C、 $m n = 0$ D、 $m n \geq 0$

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