相关试卷

1、学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．

(1)、当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直方向为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）；

(2)、第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于 $y$ 轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式；

(3)、学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加 $h$ 米，水柱落点形成的圆半径相应增加 $d$ 米， $h$ 与 $d$ 之间存在一定的数量关系，求出 $h$ 与 $d$ 之间的数量关系式；

(4)、已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加 $\frac{4}{5}$ 米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由．

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2、如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，线段 $B E$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，连接 $C E$ ，交 $B D$ ， $A B$ 于点 $F, G, ∠ E B G = ∠ B F E$ ．

(1)、求证： $C G ⊥ A B$ ；

(2)、求证： $A C \cdot B C = B D \cdot C G$ ；

(3)、如图2，若 $A C = \sqrt{6}, A G = \sqrt{3} B G, ∠ A B C = 60^{°}$ ，求阴影部分的面积．

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3、综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率 $y$ 随运动时间 $x$ （单位：秒）的变化而变化的函数模型 $y = 212 - \frac{7920}{63 + x}$ ．
【解决问题】

(1)、写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；

(2)、《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；

(3)、研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．

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4、某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分．
【收集数据】
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100.
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100.
【整理数据】

平均数
中位数
众数
八年级
a
87.5
c
九年级
85
b
80

(1)、直接写出 $a =$ _____； $b =$ _____； $c =$ _____．

(2)、该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数）

(3)、【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用 $k$ 表示中位数，则 $k$ 把这组数据分为两部分，依次记为 $S$ 和 $T$ ．用 $m$ 和 $n$ 分别表示 $S$ 和 $T$ 的中位数，则所有数据中小于或等于 $m$ 的占 $25 %$ ，小于或等于 $n$ 的占 $75 %$ ．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示．
根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图．

(4)、【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可）

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5、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O D$ 的中点，连接 $C E$ ．

(1)、尺规作图：作 $B O$ 的中点 $F$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A F$ ，证明： $A F = C E$ ．

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6、计算：

(1)、 $\frac{1}{4} \times {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{4}$ ．

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．若 $B C = 4$ ， $△ A E D$ 的面积为5，则 $\cos ∠ C D E$ 的值为．

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8、把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是．

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9、若 $a > b$ ，则 $- 4 a$ $- 4 b$ ．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 80 °$ ，把 $△ A B C$ 沿着 $A D$ 对折，使得点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $C^{'}$ 处，再把 $△ B D C^{'}$ 沿着 $C^{'} D$ 翻折得到 $△ B^{'} D C^{'}$ ，若 $B^{'} C^{'} ∥ A D$ ，则 $∠ B$ 的度数是（　　）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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11、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 $O$ 为圆心的圆的一部分.如果 $M$ 是 $⊙ O$ 中弦 $C D$ 的中点， $E M$ 经过圆心 $O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，并且 $C D = 4 m ， E M = 6 m$ ．则 $⊙ O$ 的半径为（　　）

A、 $\frac{5}{2} m$ B、3m C、 $\frac{10}{3} m$ D、4m

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12、假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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13、已知一次函数 $y = (k - 2) x + 5$ ，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　）

A、 $k > 2$ B、 $k < 2$ C、 $0 < k < 2$ D、 $k < 0$

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14、分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的 $x$ ， $y$ 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A、扩大到原来的2倍 B、不变 C、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ D、缩小到原来的 $\frac{1}{4}$

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15、下列运算正确的是（　　）

A、 $x + x^{2} = x^{3}$ B、 ${(3 x^{2})}^{3} = 6 x^{6}$ C、 $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ D、 $2 x y - 3 x y = - 1$

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16、以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　）

A、45 B、60 C、90 D、135

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17、我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）

A、 $44 \times 10^{8}$ B、 $4.4 \times 10^{8}$ C、 $4.4 \times 10^{9}$ D、 $44 \times 10^{9}$

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18、如图，天然气主管道 $l$ 的同侧有 $A$ ， $B$ 两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接 $A$ ， $B$ 两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）与x轴交于点 $(- 1, 0)$ 和 $(3, 0)$ ．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、 $m + 1$ 、 $m + 3$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数关系式；

(2)、在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____；

(3)、过点P作 $P C$ 垂直于直线 $x = m + 1$ 于点C，过点M作 $M D$ 垂直于直线 $x = m + 1$ 于点D．
①当 $△ P C Q$ 的面积是 $△ Q D M$ 的面积的2倍时，求m的值；
②连接 $P D 、 C M$ ，当此抛物线在四边形 $P D M C$ 内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发沿线段 $B A$ 以每秒 $2 \sqrt{2}$ 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动．当点 $P$ 不与 $A 、 B$ 重合时，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，将线段 $P D$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P E$ ，连接 $D E$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

(1)、求线段 $P E$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当点 $E$ 落在线段 $A C$ 上时，求 $t$ 的值；

(3)、设 $△ P D E$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式．

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	平均数	中位数	众数
八年级	a	87.5	c
九年级	85	b	80