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1、如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, A B = 10, c o s B = \frac{4}{5}$ ， DE垂直平分AB ，分别交AB ， BC于点D ， E ，连接AE ．

(1)、求AC的长．

(2)、求 $t a n ∠ C A E$ 的值．

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2、我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为 $α$ ，折射角为 $β$ ，我们把 $n = \frac{s i n α}{s i n β}$ 称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2， $A B C D$ 为一圆柱形敞口容器的纵切面， $B C = 32 c m$ ，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点 $O ， A ， C$ 恰好共线，此时 $∠ B A C = 53 °$ ．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点 $G$ 处，测得 $C G = 7 c m$ ．（参考数据： $s i n 53^{°} \approx \frac{4}{5} ， c o s 53^{°} \approx \frac{3}{5} ， t a n 53^{°} \approx \frac{4}{3}$ ）

(1)、求容器的高度 $A B$ ．

(2)、求水的折射率 $n$ ．

(3)、若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到 $B C$ 的三等分点处（ $C G^{'} = \frac{1}{3} C B$ ），求水面上升的高度 $E E^{'}$ ．（结果精确到 $0.1 c m$ ）

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3、

(1)、计算 ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - 3 t a n 60 ° + |- \sqrt{3}| + {(2 c o s 60 ° - 2020)}^{0}$ ；

(2)、解不等式组： $\{\begin{matrix} \frac{3 - x}{2} ⩽ 1 \\ 3 x + 2 ⩾ 4 \end{matrix}$ ．

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4、某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 $A B$ 的长为 $m$ .（结果保留根号）

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5、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， c o s A = \frac{3}{4}$ ，那么AB的长为．

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6、如图，河坝横断面迎水坡 $A B$ 的坡比是 $1 ： \sqrt{3}$ （坡比是坡面的铅直高度 $B C$ 与水平宽度 $A C$ 之比），水平宽度 $A C = 3 \sqrt{3} m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是m.

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7、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6 ， A B = 4$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E 沿 D E$ 翻折得到 $△ F D E$ ，延长 $E F 交 B C$ 于G， $F H ⊥ B C$ ，垂足为H，连接 $B F 、 D G$ .以下结论：① $B F ∥ E D$ ； ② $B H = 3 F H$ ； ③ $t a n ∠ G E B = \frac{3}{4}$ ；④ $S_{△ B F G} = 0.3$ ，其中正确的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm(如箭头所示)，则木桩上升(　　)

A、6sin15°cm B、6cos15°cm C、6tan15°cm D、 $\frac{6}{t a n 15 °}$ cm

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9、如图1， $O M ⊥ O N$ ，点A ， D在 $O M$ 上，点B ， C在 $O N$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C O$ ，与 $O M$ 交于点 $D ．$

(1)、若 $∠ C A O + ∠ B D O = 90 °$ ，线段 $A C$ 与 $B C$ 相等吗？请说明理由．

(2)、如图2，在 $(1)$ 的条件下， $O C = 4$ ， E为 $A C$ 上一点，且 $∠ D E A = ∠ D B O$ ，求 $B C + E C$ 的长．

(3)、如图3，过点D作 $D F ⊥ A C$ 于点F ， H为 $F C$ 上一动点，G为 $O C$ 上一动点．当点H在 $F C$ 上移动，点G在 $O C$ 上移动时，始终满足 $∠ G D H = ∠ 1 + ∠ 2$ ，试判断 $F H, G H, O G$ 这三者之间的数量关系，并说明理由．

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10、如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ， $B E ⊥ A D$ 交 $A D$ 延长线于点 $E$ ， $C F ⊥ A D$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $C F = B E$ ．

(1)、求证：点 $D$ 是 $B C$ 的中点；

(2)、如图2，若 $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，求证： $A F = 2 B E$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3，作 $△ A C F$ 关于直线 $A C$ 成轴对称的 $△ A C M$ ，连接 $B M$ ，若 $B E = 2$ ，求 $△ A B M$ 的面积．

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11、如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，点 $D$ 在 $C B$ 的延长线上，且 $A E = B D$ ，连接 $C E$ ， $D E$ ．

(1)、如图1，若 $E$ 为 $A B$ 的中点，求证： $C E = D E$ ．

(2)、如图2，若 $E$ 不是 $A B$ 的中点，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．
①求证： $△ A E F$ 是等边三角形；
②判断 $C E$ 与 $D E$ 是否相等，并说明理由．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D ， E为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ， $D E ∥ C B$ ， F是 $B D$ 的中点，连接 $E F$ ．

(1)、求证： $E B = E D$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 50 °$ ，求 $∠ D E F$ 的度数．

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13、如图，已知 $B E ⊥ A C$ ， $C F ⊥ A B$ ，垂足分别为E ， F ， $B E ， C F$ 相交于点D ，若 $B D = C D$ ．

(1)、求证： $△ B D F$ ≌ $△ C D E$ ；

(2)、若 $∠ C = 5 0^{∘}$ ，求 $∠ D A C$ 的度数．

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14、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B$ 边的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 边的垂直平分线 $l_{2}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ，若 $△ A D E$ 的周长为 $8 c m$ ， $△ O B C$ 的周长为 $18 c m$ ．

(1)、求线段 $B C$ 的长；

(2)、连接 $O A$ ，求证： $O B = O C$

(3)、求线段 $O A$ 的长；

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15、如图， $∠ A O B = 30 °$ ，点P在 $∠ A O B$ 内部， $O P = 6.5$ ，点M ，点N分别是 $O A ， O B$ 上的动点，若存在点M ，点N使得 $△ P M N$ 的周长最小，则 $△ P M N$ 周长的最小值是．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = B C ， B D$ 平分 $∠ C B A$ 交 $A C$ 于点 $D ， D E ⊥ A B$ 于点E ，且 $△ D E A$ 的周长为 $2024 c m$ ，则 $A B =$ ．

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17、如图， $A D$ 是等边 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的中线， $A E = A D$ ，则 $∠ E D C$ 的度数为．

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18、若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为．

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19、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 、 $∠ E A C$ 的角平分线 $B P$ 、 $A P$ 交于点 $P$ ，延长 $B A$ 、 $B C$ ， $P M ⊥ B E$ ， $P N ⊥ B F$ ，则下列结论中正确的个数（）
① $C P$ 平分 $∠ A C F$ ；② $∠ A B C + 2 ∠ A C P = 180 °$ ；③ $∠ A C B = 2 ∠ A P B$ ；④ $S_{△ P A C} = S_{△ M A P} + S_{△ N C P}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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20、如图，已知 $A B = A D$ ，添加一个条件后，仍然不能判定 $△ A B C ≌ △ A D C$ 的是（）

A、 $C B = C D$ B、 $∠ B A C = ∠ D A C$ C、 $∠ B C A = ∠ D C A$ D、 $∠ B = ∠ D = 90 °$

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