相关试卷

1、[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ ， $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$ ，我们称 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 互为有理化因式， $\sqrt{3} + 1$ 和 $\sqrt{3} - 1$ 互为有理化因式．
问题1：

(1)、 $\sqrt{7}$ 的有理化因式是______________（写出一个即可）；

(2)、 $3 - \sqrt{3}$ 的有理化因式是______________（写出一个即可）；

(3)、[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
问题2：利用分母有理化化简下列式子： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}$ ；

(4)、[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如： $\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；
问题3：试利用分子有理化比较 $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ 和 $\sqrt{11} - \sqrt{10}$ 的大小．

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2、如图，已知在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上．

(1)、求作四边形 $A B D E$ ，使得 $A E ∥ B D$ ，且 $A E = B D$ ；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）的条件下，点F在边 $B C$ 上，且 $B F = D C$ ，连接 $A F$ ， $C E$ ， $E F$ ．当 $∠ B C E = ∠ A E C$ 时，若 $A C = 8$ ，求 $E F$ 的长．

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3、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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4、在数轴上，点 $A$ 和点 $B$ 分别表示数 $a$ ， $b$ ．可以用绝对值表示点 $A$ ， $B$ 两点间的距离 $A B$ ，即 $A B = |a - b|$ ．

(1)、如图1，在数轴上，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别表示数 $- 2$ ， 4， $x$ ，解决以下问题：
①若 $|x - 4| = 2$ ，则 $x =$ ______；
②若 $|x + 2| = |x - 4|$ ，则 $x =$ ______；
③若 $2 A C = B C$ ，求 $x$ 的值．

(2)、如图2，在数轴上，点 $A$ ， $B$ 分别表示数 $a$ ， $b (a < b)$ ，点 $D$ 是数轴上一动点，且 $A D$ 不小于 $2 B D$ ．请在数轴上表示出所有符合条件的点 $D$ ．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）

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5、归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入手，通过分析归纳出一般规律．
将棱长为 $1cm$ 的正方体按如图方式放置，对于第1个图，很容易得出其表面积为 $6 {cm}^{2}$ ．在计算第2个图的表面积时，一部分同学在逐个数小正方形的个数，小亮觉得一个一个数的方法容易重复或漏掉，而且不易观察规律，通过思考他发现可以用学过的“从三个方向看物体的形状”的知识解决这个问题，具体做法如下：
从正（后）面看，小正方形的个数有： $(1 + 3)$ 个：
从左（右）面看，小正方形的个数有： $(1 + 3)$ 个；
从上（下）面看，小正方形的个数有： $(3 \times 3)$ 个；
所以第2个图的表面共有 $[4 \times (1 + 3) + 2 \times (3 \times 3)]$ 个正方形，
…
进而可以求出第2个图的表面积．

(1)、第2个图的表面积为______ ${cm}^{2}$ ；

(2)、求第3个图的表面积；

(3)、第 $n$ 个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为______个；（结果用含 $n$ 的代数式表示）

(4)、试着求出第 $n$ 个图的表面积．（结果用含 $n$ 的代数式表示，不用化简）

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6、书籍是人类进步的阶梯，为爱护书一般都将书本用封皮包好．现有一本数学读本如图1所示，其长为 $26 cm$ ，宽为 $18.5 cm$ 、厚为 $1 cm$ ．小明用一张长方形包书纸（如图2所示）包好了这本书，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为 $x cm$ ．封皮展开后如图所示．

(1)、该包书纸的长为______ $cm$ ，宽为______ $cm$ ；（用含 $x$ 的代数式表示）

(2)、当 $x = 3$ 时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．

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7、已知：点 $A, B, C$ 在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题：

(1)、点 $A$ 表示的有理数是______，表示有理数 $- 5$ 的点是______， $A, C$ 两点之间的距离为______个单位长度；

(2)、请你在数轴上标出表示有理数 $\frac{9}{2}$ 和 $- 2.5$ 的点 $P$ 和点 $Q$ ；

(3)、将 $- 5$ ， 0， $- 2$ ， $- 2.5$ ， $\frac{9}{2}$ 这五个数用“ $<$ ”连接的结果是______．

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8、计算：

(1)、 $(- 10) + (- 7) - (- 3) - 6$ ；

(2)、 $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{5}{6}) \times (- 24)$ ；

(3)、 $- 1^{4} - {(- \frac{2}{3})}^{2} \div |- \frac{1}{9}|$ ．

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9、现有 $1$ 张大长方形和 $4$ 张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差为．（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）

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10、关于代数式 $10 x + 5 y$ 表示的意义，下列说法不正确的是（）

A、某景点门票，成人票每张10元，学生票每张5元，则代数式 $10 x + 5 y$ 表示 $x$ 名成人和 $y$ 名学生的门票总费用 B、小明跑步的速度是 $x m / s$ ，走路的速度是 $y m / s$ ，则代数式 $10 x + 5 y$ 表示他分别跑步 $10 s$ 和走路 $5 s$ 所经过的总路程 C、如果用 $x$ 和 $y$ （单位：枚）分别表示1元硬币和5角硬币的数量，那么代数式 $10 x + 5 y$ 表示 $x$ 枚1元硬币和 $y$ 枚5角硬币的总金额（单位：角） D、若长方形的长为 $x$ ，宽为10，正方形的边长为 $y$ ，则代数式 $10 x + 5 y$ 表示1个长方形的面积与5个正方形的面积和

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11、已知 $a^{x} b^{2}$ 与 $- 7 a^{3} b^{y}$ 的和为单项式，则 $y^{x} =$ ．

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12、2020年“双十一”电商促销活动中，天猫全天总成交额达498200000000元，请将这个数字用科学记数法表示出来（）

A、 $4982 \times 10^{8}$ B、 $4982 \times 10^{9}$ C、 $4.982 \times 10^{12}$ D、 $4.982 \times 10^{11}$

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13、定义：若二次根式 $a + 2 \sqrt{b}$ 可以写成 ${(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2}$ 的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称 $a + 2 \sqrt{b}$ 为完整根式， $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 是 $a + 2 \sqrt{b}$ 的完整平方根，例如：∵ $8 + 2 \sqrt{15} = {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}$ ， ∴ $8 + 2 \sqrt{15}$ 是完整根式， $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ 是 $8 + 2 \sqrt{15}$ 的完整平方根．

(1)、若完整根式 $a + 2 \sqrt{b}$ 的完整平方根为 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ ， a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；

(2)、若 $a + 2 \sqrt{21} = {(\sqrt{3} + \sqrt{n})}^{2}$ ，且a、n为正整数，则 $a =$ ______；

(3)、试判断 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ 是否是完整根式 $7 + 2 \sqrt{10}$ 的完整平方根，并说明理由．

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14、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，垂足分别为 $E 、 F$ ， $D F = B E$ ．求证：

(1)、 $△ A D E ≌ △ C B F$ ；

(2)、四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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15、如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板 $A$ ， $B$ ，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为 $18 m^{2}$ 和 $32 m^{2}$ ．

(1)、光伏发电板 $A$ ， $B$ 的边长分别为_____ $m$ ， _____ $m$ ；（用最简二次根式表示）

(2)、计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积．

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16、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F分别在 $A D$ 、 $B C$ 上， $O B = O D, E F$ 交 $B D$ 于点 $O$ ．求证 $A E = C F$ ．

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17、如图，在 $3 \times 6$ 的网格中，每个小正方形边长为 $1$ ．请按要求作图，使得顶点均在格点上．

(1)、在图①中画 $△ A B C$ ，使得 $A B = A C$ ， $∠ A = 90 °$ ；

(2)、在图②中画线段 $D E$ ，使得 $D E = 2 \sqrt{5}$ ，此时 $∠ D E F =$ _________ $°$ ．

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18、计算：

(1)、 $2 \sqrt{8} + \frac{1}{3} \sqrt{18} - \frac{3}{4} \sqrt{32}$ ；

(2)、 $\sqrt{24} \times \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{48} \div (\sqrt{12} - \sqrt{3})$ ．

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19、如图，点A在直线 $M N$ 上，以A为顶点，在直线 $M N$ 的上方作菱形 $A B C D$ ．若 $A B = 6$ ， $∠ C = 120 °$ ，则点C到直线 $M N$ 的最大距离是．

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20、如图，在等边 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 的中点，E是 $C B$ 延长线上的一点，且 $∠ B D E = 30 °$ ， $D M ⊥ B C$ ，垂足为M， $D M = 2$ ，则 $E C =$ ．

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