相关试卷

1、阅读下面的材料：
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
例如： $a^{2} + a = a (a + 1)$ ， $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，都把一个多项式进行了因式分解．
现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，即多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 因式分解的结果为 ${(a + b)}^{2}$ ．
请回答下列问题：
【小试牛刀】
（1）根据图3拼图，多项式 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ 因式分解的结果是．
【自主探索】
（2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 因式分解的结果；
【拓展应用】
（3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为 $b$ 的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？
②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ，点 $E$ 在 $A D$ 的延长线上．

(1)、尺规作图：作 $∠ A C B$ 的平分线交 $A D$ 于点 $F$ （按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $2 ∠ E B D = ∠ A B C$ ，求证： $D E = D F$ ．

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3、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 3 (x + 1) \leq x + 3 ① \\ \frac{5 - 3 x}{2} < x + 10 ② \end{array}$ ，并写出所有整数解．

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4、因式分解：

(1)、 $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2}$ ；

(2)、 $a^{2} (x - y) + 16 (y - x)$ ．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边的中点，线段 $A B$ 绕点 $D$ 顺时针旋转得到对应线段 $A^{'} B^{'}$ ，直线 $A^{'} B^{'}$ 与边 $A C, B C$ 分别交于点 $E, F$ ．若 $△ E F C$ 是等腰三角形，则旋转角为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $D E = 5 cm$ ，则 $B F =$ cm．

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7、如图，直线 $y_{1} = k x + b (k > 0)$ 与直线 $y_{2} = m x + n (m < 0)$ 交于点 $A$ ，当 $y_{1} < y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围是．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $D$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 边上一点，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠得 $△ A E D$ ， $△ C D F$ 沿 $D F$ 折叠得 $△ E D F$ ，若 $A B = 2$ ，则 $E F =$ （）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{8}{7}$ D、 $\frac{7}{6}$

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9、下列因式分解正确的是（　　）

A、 $a m + b m - m = m (a + b)$ B、 $- x^{2} - 4 y^{2} = - (x + 2 y) (x - 2 y)$ C、 $y^{2} - y + \frac{1}{2} = {(y - \frac{1}{2})}^{2}$ D、 $9 + 6 (x + y) + {(x + y)}^{2} = {(x + y + 3)}^{2}$

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10、2025年春晚《秧 $BOT$ 》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的 $AI$ 驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达 $360 N \cdot m$ ，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩 $x$ （ $N \cdot m$ ）应满足的不等关系为（）

A、 $x \geq 360$ B、 $x > 360$ C、 $x \leq 360$ D、 $x < 360$

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11、中华人民共和国第十五届运动会，简称“十五运会”，于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地成功举办，健身运动的热潮也席卷全国．下列关于体育运动的图标是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ，点E在边 $A B$ 上， $A E = 5$ ．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $A D - D C$ 向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（ $t > 0$ ），连结 $P E$ ，当点P运动到点D时， $P E = \sqrt{41}$ ．

(1)、当 $t =$ ______秒时， $E P$ 平分矩形 $A B C D$ 的面积；

(2)、连结 $D E$ ，当 $△ D P E$ 的面积为6时，求t的值；

(3)、如图2，作点A关于直线 $P E$ 的对称点 $A^{'}$ ，当点 $A^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上时，求t的值．

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13、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形．

(1)、请用尺规作图法，在矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 和 $A D$ 上分别找一点E、F使得四边形 $A E C F$ 为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、已知 $A D = 8$ ， $C D = 4$ ．求菱形 $A E C F$ 的面积．

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14、一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．

(1)、随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号相同的概率．

(2)、一次摸取两个小球，直接写出取出的两个小球的标号之和小于6的概率．

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15、解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ．

(2)、 ${(x - 3)}^{2} + 2 x (x - 3) = 0$ ．

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16、如图，△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE，则线段 CE 的长等于

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17、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球．

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18、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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19、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4, ∠ A B C = 45 °$ ，点 E 、F 分别在 $A B 、 A D$ 边上，点 P 是对角线 $B D$ 上的动点， $P E + P F$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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20、随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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