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1、已知，在 $△ A B C$ 中，点D是 $A C$ 上一点，过点D的直线交 $A B$ 于点E，交 $B C$ 延长线于点F，点G是 $A D$ 上一点，连接 $G E$ 并延长交 $C B$ 延长线于点H， $∠ E G C = 2 ∠ A$ ， $∠ G E F = 2 ∠ F$ ．

(1)、若 $∠ A = ∠ F = 36 °$ ，求 $∠ B E F$ 的度数：

(2)、若 $A E = C F$ ， $D G = D E$ ，求证： $A C = E F$ ．

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2、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图，点 $A (0, 4)$ ，点 $B (2, 2)$ ，点 $C (1, 1)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向左平移4个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （点A、B、C的对应点分别为 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ），画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于 $x$ 轴对称（点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的对称点分别为 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ ），画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在直线 $C C_{1}$ 上画出一点 $P$ ，使 $P A + P A_{1}$ 的值最小，并直接写出点 $P$ 的坐标．

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3、如图， $O M$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，C是 $O M$ 上一点、 $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为D，E，F点P是 $O M$ 上的另一点，连接 $D F$ ， $E F$ ．求证： $∠ D F O = ∠ E F O$ ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 3 ∠ C$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线， $B E ⊥ A D$ 于点E．
（1）若 $∠ C = 27 °$ ，则 $∠ B A D =$ ，
（2）若 $B E = 3$ ， $C D = 2 B D$ ，则 $A C =$ ．

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5、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D、E分别是边 $A C$ 、 $B C$ 上的点，且 $A D = C E$ ． $A E$ 与 $B D$ 相交于点P， $B F ⊥ A E$ 于点F，若 $P F = 3$ ， $P D = 1$ ，则 $A E$ 的长为．

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6、已知直线 $y = k x + b$ 可以看作由直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 向下平移2个单位长度而得到，那么直线 $y = k x + b$ 与x轴交点坐标为．

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7、某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是．

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8、在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 交线段 $B C$ 于D， $∠ A B C = 32 °$ ， $∠ C A D = 21 °$ ，则 $∠ B A C =$ 度．

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9、如图，已知 $△ A B C$ 中 $△ A C B$ 为钝角，以边 $A C$ ， $B C$ 所在直线为对称轴作 $△ A B C$ 的对称图形 $△ A C D$ 和 $△ B C E$ ，线段 $B E$ 与 $A D$ 相交于点F， $C E$ 交 $A D$ 于G， $C D$ 交 $B E$ 于H，连接 $C F$ ．有如下结论：①若 $∠ A C B = 150 °$ ，则 $∠ B F D = 60 °$ ；②若 $∠ E C D = 90 °$ ，则 $∠ A C B = 150 °$ ；③ $C F$ 平分 $∠ A F B$ ；④ $A F = C F + E F$ ．其中错误的结论是（）．

A、① B、② C、③ D、④

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10、如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 $(1, 1)$ ，第2次运动到点 $(2, 0)$ ，第3次运动到点 $(3, 2)$ ， …，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（）．

A、 $(2024, 0)$ B、 $(2025, 1)$ C、 $(2025, 2)$ D、 $(2026, 0)$

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11、如图，已知 $∠ C = ∠ D$ ， $A C = A D$ ，增加下列条件仍不能判定 $△ A B C ≌ △ A E D$ 的是（）

A、 $A B = A E$ B、 $B C = E D$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、无法确定

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12、一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + m$ 的图象过点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{1} - 2, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、无法确定

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13、已知直线 $y = k x + 6$ 经过点 $(- 1, 3)$ ，则该函数的图象经过（）．

A、 $(- 5, - 9)$ B、 $(0, 5)$ C、 $(- 2, 12)$ D、 $(3, 12)$

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14、如图， $A C ⊥ B C$ 于C， $C D ⊥ A B$ 于D， $D E ⊥ B C$ 于E，以下线段是 $△ A B E$ 的高的是（）．

A、 $C D$ B、 $D E$ C、 $A C$ D、 $A D$

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15、 $△ A B C$ 的两边长分别是3和4，则第三边长不可能是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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16、“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A， $B$ 两类图书，已知购进3本A类图书和4本 $B$ 类图书共需192元；购进6本A类图书和2本 $B$ 类图书共需240元．

(1)、A， $B$ 两类图书每本的进价各是多少元？

(2)、该书店计划恰好用4800元来购进这两类图书，进货时，A类图书的购进数量不少于80本．已知A类图书每本的售价为38元， $B$ 类图书每本的售价为30元，求最大利润为多少元？

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17、在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？

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18、完成下列的问题．

(1)、在图②中用了块黑色正方形，在图③中用了块黑色正方形；

(2)、按如图的规律继续铺下去，那么第 $n$ 个图形要用块黑色正方形；

(3)、如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．

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19、如图，已知AC＝9.6 cm，AB＝ $\frac{1}{5} B C$ ， CD＝2AB，求CD的长．

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20、设 $P = 2 a - 1$ ， $Q = \frac{1}{3} a + 3$ ，且 $2 P - 3 Q = 1$ ，求a的值．

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