相关试卷

1、一块长方形纸片的面积是 $90 {cm}^{2}$ ，长、宽之比为 $3 : 2$ ．

(1)、求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号）

(2)、小丽想用一块面积为 $100 {cm}^{2}$ 的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？

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2、已知 $x = \sqrt{2} + 1$ ， $y = \sqrt{2} - 1$ ．

(1)、求代数式 $x y$ 的值；

(2)、先化简代数式 $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ ，再求它的值．

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3、已知x、y为实数，y＝ $\frac{\sqrt{x^{2} - 9} + \sqrt{9 - x^{2}} + 1}{x - 3}$ ，求5x+6y的值．

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4、计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \div 5 \sqrt{2}$ ；

(2)、 $- 6 \sqrt{8} \times 2 \sqrt{6} \div 4 \sqrt{27}$ ；

(3)、 $\sqrt{4 \frac{4}{5}} \times 3 \sqrt{5} \div (- \frac{3}{4} \sqrt{10})$ ；

(4)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{3}{4} \div 5 \sqrt{2}$ ；

(5)、 $\frac{1}{3} \sqrt{6} \times (- 6) \div \frac{1}{6} \sqrt{24}$ ．

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5、当 $1 < x < 4$ 时，化简 $|x - 4| + \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 的结果为（）

A、3 B、 $2 x - 5$ C、 $- 2 x - 3$ D、-5

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6、函数 $y = \sqrt{x + 2}$ ，则自变量x的取值范围为（）

A、 $x \geq - 2$ B、 $x > 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \leq - 2$

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7、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0) 、 B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线的对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ ，连接 $A C$ ．点 $D$ 是 $x$ 轴上一点，且 $O D = O C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图，作直线 $C D$ 交抛物线于点 $E$ ．点 $P$ 是直线 $C E$ 上方抛物线上一动点，过 $P$ 作 $P M ∥ y$ 轴交 $C E$ 于点 $M$ ．当线段 $P M$ 长度取得最大值时，在直线 $P M$ 上有两动点 $F 、 G$ （点 $F$ 在点 $G$ 的上方），当 $F G = 1$ 时，求 $B F + F G + G E$ 的最小值；

(3)、将该抛物线沿射线 $C A$ 方向平移 $\sqrt{10}$ 个单位长度得到新抛物线，新抛物线与 $y$ 轴交于点 $K$ ，连接 $K D$ ，点 $N 、 Q$ 分别为直线 $K D$ 下方新抛物线上的两点，当 $∠ K D N = 45 °$ 时，连接 $A Q$ ，若线段 $A Q$ 被直线 $D N$ 平分，求点 $Q$ 的坐标．

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8、综合与实践
在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：

(1)、观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一动点，连接 $A E$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $A F$ ， $D F$ ，则 $∠ A D F =$ ____________ $°$ ， $D F$ ， $D E$ ， $A D$ 之间的数量关系是____________；

(2)、类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一动点，且 $B E > D E$ ，连接 $A E$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $A C$ ， $A F$ ， $D F$ ．
① $∠ A D F =$ __________；
②写出 $D F$ ， $D E$ ， $A D$ 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；

(3)、拓展应用
“创新”小组提出的问题是：在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A D B = 30 °$ ，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一动点，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为边在 $A E$ 的右边作直角 $△ A E F$ ， $∠ A E F = 90 °$ ， $∠ A F E = 30 °$ ，连接 $C E$ ， $F D$ ，若 $△ C E F$ 是以 $C F$ 为腰的等腰三角形，请直接写出 $B E$ 的长．

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9、如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布 $A C = A D = 2 m$ ， $A B$ 为可伸缩支杆，拉绳 $D E$ 、 $C F$ 固定在水平地面 $E F$ 上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线， $A B ⊥ E F$ 于点B， $C D ⊥ A B$ 于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离， $B E = 3 m$ ， $∠ C A D = 120 °$ ．

(1)、求拉绳 $D E$ 的长；

(2)、如图3，现将支杆 $B A$ 向上伸长至点 $A^{'}$ ，同时将固定点E、F分别移动至 $E^{'}$ 、 $F^{'}$ ，使 $A^{'}$ 、 $D^{'}$ 、 $E^{'}$ 共线， $A^{'}$ 、 $C^{'}$ 、 $F^{'}$ 共线，且 $E E^{'} = 1 m$ ，在此过程中，拉绳长度保持不变，求 $A^{'} B$ 的长．（结果保留根号）

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10、学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜 $A B$ ，其中点 $A, B$ 的坐标分别为 $(4, 2), (4, 6)$ ，从点 $C (- 1, 0)$ 发射光线，其图象对应的函数解析式为 $y = m x + n (m \neq 0, x \geq - 1)$ ．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线 $y = m x + n (m \neq 0, x \geq - 1)$ 经过镜面反射后，反射光线与 $y$ 轴相交于点 $E$ ，则点 $E$ 是整点的个数为．

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11、若 $| a - 2 | + {(b + 3)}^{2} = 0$ ，则 $a b =$

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12、将一张长方形纸沿虚线折叠，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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13、若分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围为．

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14、如图， $⊙ O$ 的半径为2，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点，连接 $A C 、 B C$ ，若 $∠ A C B = 100 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、 $\frac{10}{9} π$ B、 $\frac{16}{9} π$ C、 $\frac{20}{9} π$ D、 $\frac{32}{9} π$

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15、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，点E是边 $A D$ 的中点，点F在对角线 $A C$ 上，且 $A F = \frac{1}{4} A C$ ，连接 $E F$ ．若 $A C = 8$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $△ A B C$ 的周长为 $18$ ， $A E = 3$ ，观察图中尺规作图的痕迹，则 $△ A D C$ 的周长是（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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17、根据国家统计局的数据， $2025$ 年 $11$ 月中国生产芯片约 $431840000000$ 颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据 $431840000000$ 用科学记数法可以表示为（）

A、 $4.3184 \times 10^{9}$ B、 $4.3184 \times 10^{10}$ C、 $4.3184 \times 10^{11}$ D、 $4.3184 \times 10^{12}$

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18、“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、下列四个数中，其中最大的数是（）

A、3 B、 $- π$ C、 $\sqrt{3}$ D、0

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20、为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进 $A$ 、 $B$ 两种瓶装饮品共 $300$ 箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
饮料
成本（元/箱）
销售价（元/箱）
$A$
$30$
$45$
$B$
$40$
$60$

(1)、若该超市花了 $10000$ 元进货，求购进 $A$ 、 $B$ 两种饮料各多少箱？

(2)、设购进 $A$ 种饮料 $a$ 箱（ $80 \leq a \leq 100$ ）， $300$ 箱饮料全部卖完可获利润 $W$ 元，求 $W$ 与 $a$ 的函数关系式，并求购进 $A$ 种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？

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饮料	成本（元/箱）	销售价（元/箱）
$A$	$30$	$45$
$B$	$40$	$60$