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1、如图，对面积为S的 $△ A B C$ 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA 至点 $A_{1}, B_{1}, C_{1},$ 使得 $A_{1} B = 2 A B, B_{1} C = 2 B C, C_{1} A =$ 2CA，顺次连接. $A_{1}, B_{1}, C_{1},$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1},$ 记其面积为 $S_{1};$ 第二次操作，分别延长 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} A_{1}$ 至点 $A_{2}, B_{2}, C_{2},$ 使得 $A_{2} B_{1} = 2 A_{1} B_{1},$ $B_{2} C_{1} = 2 B_{1} C_{1}, C_{2} A_{1} = 2 C_{1} A_{1}$ 顺次连接 $A_{2}, B_{2}, C_{2},$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2},$ 记其面积为 S₂……按此规律继续下去，可得到 $△ A_{n} B_{n} C_{n},$ 则其面积 $S_{n} =$ 。

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2、已知 $△ A B C$ 的面积是60，请完成下列问题：

(1)、如图1，若CD，BE分别是 $△ A B C$ 的边AB，AC上的中线，求四边形 ADOE 的面积可以用如下方法：连接AO，由.AD=DB，得 $S_{△ A D O} = S_{△ B D O} 。$ 同理可得， $S_{△ C E O} = S_{△ A E O} 。$ 设 $S_{△ B D O} = x,$ $S_{△ C E O} = y,$ 则 $S_{△ A D O} = x, S_{△ A E O} = y 。$ 由题意，得 $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} S_{△ A B C} = 30, S_{△ A D C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C} = 30,$ 即2x+y=30，x+2y=30，则四边形ADOE 的面积为。

(2)、如图2，AD：DB=1：3，AE：CE=1：2，求四边形ADOE 的面积。

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3、如图

(1)、如图1，E，F分别为长方形ABCD 的边AD，BC的中点，则 S_阴影和S_{长方形ABCD}满足的关系式为；

(2)、如图2，E，F分别为平行四边形ABCD 的边AD，BC的中点，则S_阴影和S_{平行四边形}ABCD满足的关系式为；

(3)、如图3，E，F分别为任意四边形ABCD 的边AD，BC的中点，则S_阴影和S_{四边形ABCD}满足的关系式为；

(4)、如图4，E，G，F，H分别为任意四边形ABCD 的边AD，AB，BC，CD的中点，已知图中阴影部分的面积为 20，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} =$ .

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4、如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点。

(1)、若 $S_{△ A B C} = 1 c m^{2},$ 则△BEF的面积为；

(2)、若 $S_{△ B C F} = 1 c m^{2},$ 则△ABC的面积为。

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5、如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF 相交于一点G。若 $S_{△ A B C} = 60,$ 则图中阴影部分的面积为。

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6、如图，AD是△ABC的一条中线，求证： $S_{△ A B D} = S_{△ A C D} 。$

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7、如图，在△ABC中，∠A=n°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O。过点O的直线EF 分别交AC，AB于点E，F，∠FEC与∠EFB的平分线相交于点D，求∠BOC与∠EDF 之间的数量关系。

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8、如图1，BP，CP 分别是△ABC 的外角∠CBD，∠BCE 的平分线，BQ，CQ 分别是∠PBC，∠PCB的平分线，BM，CN分别是∠PBD，∠PCE的平分线，∠BAC=α。

(1)、当α=40°时，∠BPC= ， ∠BQC=；

(2)、如图2，当α=120°时，BM所在直线与CN 所在直线相交于点O，求∠BOC的度数；

(3)、在α>60°的条件下，直接写出∠BPC，∠BQC，∠BOC之间的数量关系。

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9、已知 $△ A B C$ 的三条角平分线相交于点I，过点I作 $D I ⟂ I C,$ ，交AC于点D。

(1)、如图1，求证： $∠ A I B = ∠ A D I 。$

(2)、如图2，延长BI，交外角. $∠ A C E$ 的平分线于点F。
①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由；
②若 $∠ B A C = 7 0^{\circ},$ 求 $∠ F$ 的度数。

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 9 6^{\circ}$ ，延长 BC 到点 D， $∠ A B C$ 与 $∠ A C D$ 的平分线相交于点 $A_{1}, ∠ A_{1} B C$ 与 $∠ A_{1} C D$ 的平分线相交于点A₂……依此类推， $∠ A_{2025} B C$ 和 $∠ A_{2025} C D$ 的平分线交于点. $A_{2026},$ 则 $∠ A_{2026} =$ 。

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11、如图，若BD，CD分别平分 $∠ A B C, ∠ A C E,$ ，求证： $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A 。$

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12、如图，在△ABC中，将其折叠，E是点A 落在边 BC上的点，折痕为CD。若∠BCD=45°，∠BDE=6°，则∠B的度数为。

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13、如图，△ABC 的两条角平分线AM，BN 相交于点O，∠BOM=40°，则∠C 的度数为。

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14、在△ABC中，∠A=90°。

(1)、如图1，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠P=；若∠A≠90°，猜想∠P与∠A之间的等量关系为。

(2)、如图2，BE和BF 三等分∠ABC，CE和CF 三等分∠ACB，求∠BFC的度数；若∠A≠90°，猜想∠BFC与∠A 之间的等量关系。

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15、如图

(1)、如图1，在△ABC中，P为边BC上一点，试比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由；

(2)、如图2，将（1）中点 P 的位置移至△ABC的内部，试比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；

(3)、如图3，将（2）中点 P 变为两个点 P₁ ， P₂ ，试比较四边形 BP₁P₂C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由。

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16、如图，在△ABC中，D是BC上一点，求证：AB+BC+AC>2CD。

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17、若△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a-b-c|-|b-a-c|=。

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18、如图，对于任意△ABC，BC，AC，AB的长分别为a，b，c，在其内部任取一点 P，连接PA，PB，PC。

(1)、化简：|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|；

(2)、求证： $\frac{1}{2} (a + b + c) < P A + P B + P C < a + b + c 。$

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19、在 $△ A B C$ 中，已知三边长a，b，c满足a=b+2，b=c+1。

(1)、求b的取值范围；

(2)、若这个三角形的周长为22，求a，b，c的值。

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20、已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x。

(1)、c的取值范围为， x的取值范围为。

(2)、若x是小于18的偶数，
①c的长为 ▲ ；
②判断△ABC 的形状。

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