相关试卷

1、定义，在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (a, b) (a \neq 0, b \neq 0)$ ， $B (m, n)$ ，若点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{a + m}{a}$ ， $y = \frac{b + n}{b}$ ，那么称点 $T$ 是点A，B的“伴 $A$ 融合点”，例如： $A (- 1, 2)$ ， $B (3, 4)$ ，当点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{- 1 + 3}{- 1} = - 2$ ， $y = \frac{2 + 4}{2} = 3$ 时，则点 $T (- 2, 3)$ 是点A，B的“伴 $A$ 融合点”．

(1)、已知点 $A (2, - 4)$ ， $B (- 2, 8)$ ，点 $T$ 是点A，B的“伴 $A$ 融合点”，则点 $T$ 的坐标为_____；

(2)、已知点 $Q (a, b)$ 是直线 $y = x$ 上在第一象限内的一动点， $P (m, n)$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 上一动点，点 $T (x, y)$ 是点 $Q$ ， $P$ 的“伴 $Q$ 融合点”，试求出 $T$ 中 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式（表达式中含 $a$ ），并判断所有点 $T (x, y)$ 中是否存在最高点？若存在，求出最高点的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、 $M (- 1, y_{1})$ ， $N (a - 1, y_{2})$ 为（2）中 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式所对应的图象上两点，若点 $M$ ， $N$ 之间的图象（包括点 $M$ ， $N$ ）的最高点与最低点纵坐标的差为 $6 a^{2}$ ，求 $a$ 的值．

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2、综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：
在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ， $O$ 是边 $B C$ 的中点， $D$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点， $∠ A D B = 90 °$ ，将 $△ A D B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α$ 得到 $△ A E C$ ， $B$ ， $D$ 的对应点分别为 $C$ ， $E$ ，直线 $E D$ 经过点 $O$ ．特例探究：
（1）如图1，当 $α = 90 °$ ，点 $D$ 与点 $O$ 重合时，证明： $E D = \sqrt{2} B D$ ；
操作探究：
（2）如图2，当 $α = 90 °$ ，点 $O$ 与点 $D$ 不重合时，判断 $B D$ ， $O D$ 和 $O E$ 之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，当 $α = 60 °$ ，点 $O$ 与点 $D$ 不重合时，直接写出 $B D$ 、 $O D$ 和 $O E$ 之间的数量关系．

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，D是弦 $A C$ 延长线上一点，且 $C D = A C$ ， $D B$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点E，连接 $C E$ 交 $A B$ 于点F．

(1)、求证： $C D = C E$ ；

(2)、若 $F$ 是 $C E$ 的中点，求 $∠ A C E$ 的度数．

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4、方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）．
（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A₁B₁C；
（2）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的图形△A₂B₂C₂ ．

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5、解方程： $4 x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ．

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6、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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7、如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点．下列结论中错误的有（）
① $a b c > 0$ ；②若点 $(- 3, y_{1})$ 和 $(- 1.5, y_{2})$ 均在抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $4 a - 2 b + c = 0$ ；④ $\frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b < m (a m + b)$ （ $m$ 为任意实数）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、0个

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8、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图像如图所示，若 $y > 0$ ，则 $x$ 的取值的范围是（）

A、 $- 3 < x < 0$ B、 $x < - 3$ 或 $x > 1$ C、 $- 3 < x < - 1$ D、 $- 3 < x < 1$

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9、将抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} - 1$ B、 $y = x^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} - 1$

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10、已知m是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 13 = 0$ 的一个根，则 $26 + 6 m - 3 m^{2}$ 的值是（）

A、13 B、 $- 13$ C、39 D、65

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11、抛物线 $y = 10 {(x - 6)}^{2}$ 的顶点坐标是（）

A、 $(10, 6)$ B、 $(10, - 6)$ C、 $(- 6, 0)$ D、 $(6, 0)$

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12、观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．
【探究】

(1)、观察图1，选取1张面积为 $b^{2}$ ， 2张面积为 $a b$ ， ______张面积为 $a^{2}$ 的卡片，拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a、b的式子表示为______

(2)、观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算____________；

(3)、【应用】根据图②所得的公式，若 $a + b = 7$ ， $a b = 4$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(4)、若x满足 ${(2026 - x)}^{2} + {(x - 2022)}^{2} = 10$ ，求 $(2026 - x) (x - 2022)$ 的值；

(5)、【拓展】如图3，某学校有一块梯形空地 $A B C D$ ， $A C ⊥ B D$ 于点E， $A E = D E$ ， $B E = C E$ ，该校计划在 $△ A E D$ 和 $△ C E B$ 区域内种花，在 $△ C D E$ 和 $△ A B E$ 的区域内种草，经测量种花区域的面积和为 $\frac{25}{2}$ ， $A C = 6$ ，求种草区域的面积和．

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13、为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为 $(a + 4 b)$ 米，宽为 $(2 a + 3 b)$ 米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区．

(1)、用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简）

(2)、若 $a = 1$ ， $b = 3$ ，求出此时种植区的总面积S的值．

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14、如图，在四边形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 延长线上的一点，连接 $A E$ 交 $C D$ 于点F，若 $∠ B = ∠ D$ ， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、求证 $A B ∥ C D$ ；

(2)、求证 $A D ∥ B E$ ；

(3)、若 $∠ E = 27 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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15、计算：

(1)、 ${(- 3)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2^{3}$

(2)、 ${(- 2 a^{2})}^{2} \cdot a^{4} - {(- 5 a^{4})}^{2}$

(3)、 $2020^{2} - 2019 \times 2021$

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16、河南科技馆“数字宇宙”展厅的 $Wi-Fi$ 密码被设计成一道数学谜题，小豫在参观时成功破解密码并顺利连接网络，则“ $？$ ”表示的数字是．
账号： $h e n a n S T C$ 密码：前四位 $HNST$ 后四位：？
$[a^{16} b^{8} c^{8}] = 1688$ ， $[a^{2} b c \cdot a^{4} b] = 621$ ， $[{(a^{6})}^{4} b^{5} c^{6} \div a^{4} b^{3} c] = ?$

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17、已知 $a = - {(2025 + π)}^{0}$ ， $b = {(- 10)}^{- 1}$ ， $c = {(- \frac{1}{3})}^{2}$ ， $d = {(\frac{1}{2})}^{- 3}$ ，则以上四个数中，最大数减最小数的值为．

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18、若 $2 a - 3 b = 4$ ，则 $3^{2 a} \div 3^{3 b} =$ ．

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19、杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示 ${(a + b)}^{n}$ （此处 $n$ 为自然数）的展开式中各项的系数．
${(a + b)}^{1} = 1 a + 1 b$
${(a + b)}^{2} = 1 a^{2} + 2 a b + 1 b^{2}$
${(a + b)}^{3} = 1 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 b^{3}$
…
那么 ${(a + b)}^{6}$ 展开式中第四项的系数为（）

A、8 B、10 C、18 D、20

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20、如图，已知 $A B ∥ D E$ ，点 $C$ 在 $A B$ 上方，连接 $B C$ ， $C D$ ． $∠ A B C = 150 °$ ， $C B$ 与 $D F$ 互相垂直，垂足为 $F$ ，求 $∠ E D F$ 的度数为（　　）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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