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相关试卷

1、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过点A(-1，0)，B(3，0)，交 y轴于点C，M是该抛物线上第一象限内的一个动点， $M E ⟂ x$ 轴于点E，交线段 BC于点D， $M N ‖ x$ 轴，交y轴于点 N.

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的表达式.

(2)、若四边形 MNOE 是正方形，求该正方形的边长.

(3)、连结OD，AC，抛物线上是否存在点 M，使得以点C，O，D为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似?若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.

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2、如图，⊙O的半径为5，弦.BC=6，A为BC 所对优弧上一动点， $△ A B C$ 的外角平分线AP 交⊙O于点 P，直线 AP 与直线BC 交于点E，连结 BP.

(1)、如图1，①求证：点 P 为 $\hat{B A C}$ 的中点；②求 $s i n ∠ B A C$ 的值.

(2)、如图2，若A为PC的中点，连结 PC，求CE的长.

(3)、如图3，若 $△ A B C$ 为非锐角三角形，求PA·AE的最大值.

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3、如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点 C作 $∠ A C B$ 的平分线交⊙O于点D，过点 D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E.

(1)、如图1，连结AD，求证： $∠ A D C = ∠ D E C .$

(2)、若⊙O的半径为5，求 CA·CE的最大值.

(3)、如图2，连结AE，设 $t a n ∠ A B C = x ， t a n ∠ A E C = y .$
①求y关于x的函数表达式.
②若 $\frac{C B}{B E} = \frac{4}{5} ，$ 求y的值.

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4、有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.

(1)、如图1，在半对角四边形ABCD中， $∠ B = \frac{1}{2} ∠ D ， ∠ C = \frac{1}{2} ∠ A ，$ 求∠B与 $∠ C$ 的度数之和.

(2)、如图2，锐角三角形ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得. $B D = B O ， ∠ O B A$ 的平分线交OA 于点E，连结 DE 并延长交 AC 于点 F， $∠ A F E = 2 ∠ E A F .$ .求证：四边形 DBCF 是半对角四边形.

(3)、如图3，在(2)的条件下，过点 D 作 $D G ⟂ O B$ 于点H，交BC于点G，当.DH=BG时，求 $△ B G H$ 与 $△ A B C$ 的面积之比.

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5、嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y(万件)与售价x(元/件)之间存在图1(一条线段)所示的变化趋势，总成本 P(万元)与销售量 y(万件)之间存在图2所示的变化趋势，当 $6 \leq y \leq 10$ 时可看成一条线段，当 $10 \leq y \leq 18$ 时可看成抛物线 $P = - \frac{1}{5} y^{2}$ +8y+m的一部分.

(1)、写出y与x之间的函数关系式.

(2)、若销售量不超过10万件时，利润为45万元，求此时的售价为多少元/件?

(3)、当售价为多少元/件时，利润最大?最大值是多少万元(利润=销售总额一总成本)?

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6、已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E，D分别为AC，BC的中点，连结DE.

(1)、如图1，当点 A，D，O在同一条直线上时，求证： $D E = \frac{1}{2} A C .$

(2)、如图2，当A，D，O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连结FD并延长交AC于点G，当.AB+AC=2AG时.
①求证： $△ D E G$ 是等腰三角形.
②如图3，连结OD 并延长交⊙O于点 H，连结AH.求证：AH∥FG.

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7、如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上任意一点，以AD 为边作 $∠ A D E = ∠ A D F = 6 0^{\circ} ，$ 分别交AC，AB于点E，F.

(1)、求证： $A D^{2} = A E \cdot A C .$

(2)、已知BC=2，设 BD的长为x，AF的长为y.
①求y关于x 的函数表达式.
②若四边形 AFDE的外接圆直径为 $\frac{13 \sqrt{3}}{12} ，$ 求x的值.

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8、已知函数 $y_{1} = (x + m) (x - m - 1) ， y_{2} = a x + m (a \neq 0)$ 的图象在同一平面直角坐标系中.

(1)、若 $y_{1}$ 的图象经过点((1，-2)，求 $y_{1}$ 的函数表达式.

(2)、若y₂ 的图象经过点((1，m+1)，判断 $y_{1}$ 与： $y_{2}$ 的图象的交点个数，并说明理由.

(3)、若y₁ 的图象经过点( $(\frac{1}{2}, 0) ，$ 且对任意x，都有 $y_{1} > y_{2} ，$ 请利用图象求a的取值范围.

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9、命题“若 $△ A B C$ 中，如果 $A C^{2} + B C^{2} \neq A B^{2}$ ，那么 $∠ C \neq 90 °$ ”，用反证法证明此命题时，应首先假设成立．

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10、若用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中，若 $A C > A B$ ，则 $∠ B > ∠ C$ ”，则应假设（　　）

A、 $∠ B > ∠ C$ B、 $∠ B \leq ∠ C$ C、 $A C > ∠ A B$ D、 $A C \leq A B$

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11、用反证法证明“在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ，则 $∠ B < 90 °$ ”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（　　）
步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.

A、①③② B、①②③ C、③①② D、③②①

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12、用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 $45 °$ ”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）

A、两个锐角都大于 $45 °$ B、两个锐角都小于 $45 °$ C、两个锐角都不大于 $45 °$ D、两个锐角都等于 $45 °$

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13、阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E, F, G, H$ 分别是边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点，顺次连接 $E, F, G, H$ ，得到的四边形 $E F G H$ 是平行四边形．此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2，连接 $A C 、 B D$ ，

$∵ H, G$ 分别为 $A D, C D$ 的中点，

$∴ H G ∥ A C$ ．（依据1）

$∵ E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，

$∴ E F ∥ A C$ ．

$∴ H G ∥ E F$

同理： $H E ∥ G F$

$∴$ 四边形 $E F G H$ 是平行四边形．（依据2）

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 $E F G H$ 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．

任务：

(1)、填空：材料中的依据1是：．依据2是：．

(2)、如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形

E F G H

的周长与对角线

A C, B D

长度的关系，并证明你的结论．

(3)、请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形

A B C D

的对角线

A C

与

B D

及它的瓦里尼翁平行四边形

E F G H

，且四边形

A B C D

的对角线

A C

与

B D

的夹角为

60 °

，求瓦里尼翁平行四边形

E F G H

中

∠ H E F

的度数．

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点G、H分别是 $A B$ 、 $C D$ 中点，点E、F在对角线 $A C$ 上，

(1)、在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件，使得四边形 $E G F H$ 是平行四边形并说明理由；

(2)、连接 $B D$ 交 $A C$ 于点O，若 $B D = 10$ ， $O E = O F$ ， $A E + C F = E F$ ，求 $E G$ 的长.

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为边 $A B$ 上的点，连接 $C E 、 D E$ ， F、G分别为 $D E$ 、 $C E$ 的中点．若 $A B = 6$ ，则 $F G$ 的长为．

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16、如图， $A$ ， $B$ 两地被古城墙阻隔，为测量 $A$ ， $B$ 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达 $A$ ， $B$ 两地的点 $C$ ，连接 $C A$ ， $C B$ ，分别取 $C A$ ， $C B$ 的中点 $D$ ， $E$ ，连接 $D E$ ．若 $D E$ 的长为 $27 m$ ，则 $A$ ， $B$ 两地间的距离为 $m$ ．

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17、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是

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18、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $A C$ 的中点，连接 $E F$ ，若 $E F = 3$ ，则 $A D$ 的长为．

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19、如图， $∠ B A C$ 的平分线交 $△ A B C$ 的中位线 $D E$ 于点 $F$ ，若 $A C = 10$ ， $A B = 6$ ，则 $E F$ 的长为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、如图 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，若 $B C = 8$ ，则 $O E$ 的长为（　　）

A、16 B、6 C、4 D、10

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