相关试卷

1、定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如： $3^{2} - 1^{2} = 8, 5^{2} - 3^{2} = 16, 7^{2} - 5^{2} = 24$ ，则8，16，24都是“和谐数”．

(1)、特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”）

(2)、规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为 $2 k + 1$ 和 $2 k - 1$ ，其中 $k$ 是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．

(3)、迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形 $A B C D$ ，其边长为199，求阴影部分的面积．

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2、根据以下素材，探索完成任务．

荡秋千问题
素材1	小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．
素材2	如图，小丽从秋千的起始位置 $A$ 处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 $1 m$ 高（即 $D M = 1 m$ ）的 $B$ 处接住她后用力一推，爸爸在 $C$ 处接住她．已知妈妈与爸爸到 $O A$ 的水平距离 $B D$ 、 $C E$ 分别为 $1.4 m$ 和 $1.8 m$ ， $∠ B O C = 90^{\circ}$ ， $B D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O A$ ， $B O = C O$ ，设 $O A$ 的延长线与地面交于 $M$ ．
问题解决
任务1	$△ O B D$ 与 $△ C O E$ 全等吗？请说明理由；
任务2	当爸爸在 $C$ 处接住小丽时，求小丽距离地面的高 $E M$ ．

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3、如图， $A B ∥ C D$ ， $E F$ 平分 $∠ A E D$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ D = 70 °$ ．

(1)、请你利用直尺和圆规在 $∠ A E D$ 内作 $∠ D E G$ ，使 $∠ D E G$ 等于 $∠ D$ （保留作图痕迹，不写作法）

(2)、根据（1）的作图，求 $∠ F E G$ 的大小．
小博同学的解答如下，请你帮助他填写完整：
解：∵ $∠ D E G = ∠ D = 70 °$ （已知），
∴ $E G$ $∥$ ________（________）
∵ $A B ∥ C D$ （已知），
∴ $E G ∥ A B$ （________）
∴ $∠ A E G = ∠ A = 30 °$ （________），
∴ $∠ A E D = ∠ A E G + ∠ D E G = 30 ° + 70 ° = 100 °$ ，
∵ $E F$ 平分 $∠ A E D$ ，
∴ $∠ D E F = ∠ A E F = \frac{1}{2} ∠ A E D = 50 °$ （________），
∴ $∠ F E G = ∠ D E G - ∠ D E F =$ ________．

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4、为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A．健美操；B．跳绳；C．剪纸；D．书法．为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：

(1)、本次共调查了          名学生；并将条形统计图补充完整；

(2)、C组所对应的扇形圆心角为          度；

(3)、若全校共有学生1800人，则估计喜欢跳绳的学生人数约有          人；

(4)、在4名跳绳成绩最好的学生中，有1名男生和3名女生．要从中随机抽取1名同学参加比赛，则刚好抽到女生的概率为           ．

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5、面对一道先化简，再求值的计算问题： $[(x + y) (x - y) - {(x - 2 y)}^{2} - 3 y^{2}] \div 4 y$ ，其中 $x = - 2, y = 1$ ，小明给出了以下运算过程：
解：原式 $= [x^{2} - y^{2} - (x^{2} - 4 y^{2}) - 3 y^{2}] \div 4 y$        第1步
$= (x^{2} - y^{2} - x^{2} + 4 y^{2} - 3 y^{2}) \div 4 y$        第2步
$= 0 \div 4 y$        第3步
$= 0$        第4步
当 $x = - 2 ， y = 1$ 时，原式 $= 0$ ．        第5步

(1)、小明的第          步出现了错误，错误的原因是          ；

(2)、请写出正确的完整解答过程．

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6、计算：

(1)、 $- 1^{2026} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(3.14 - π)}^{0}$ ；

(2)、 $\frac{1}{3} a (3 a - 6) + (a - 2) (a + 3)$ ．

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7、已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{2026}$ 是彼此互不相等的有理数，且 $M = (a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2025}) (a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2026}) + \frac{1}{4} {(a_{1} - a_{2026})}^{2}$ ， $N = (a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2026}) (a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2025})$ ，那么 $M$ 与 $N$ 的大小关系是 $M$ $N .$ （填“ $>$ ”，“ $<$ ”，“ $\leq$ ”，“ $\geq$ ”或“ $=$ ”）

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, A C$ 边上的高 $B D = 4, P$ 为 $B C$ 上一点， $P E ⊥ A C$ 于点 $E, P F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，则 $P E + P F =$ ．

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9、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °, ∠ B = 42 °, A D$ 是 $△ A B C$ 的一条角平分线，则 $∠ A D B =$ ．

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10、若代数式 ${(a + 1)}^{0}$ 无意义，则 $a =$ ．

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11、若 $a^{m} = 5, a^{n} = 3$ ，则 $a^{m - n} =$ ．

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12、如图，已知 $M N ∥ P Q$ ，点 $B$ 在 $M N$ 、 $P Q$ 之间，连接 $A B$ 、 $B C$ ．直线 $A E$ 、 $C D$ 相交于点 $D$ ，且满足 $∠ B A M = n ∠ M A E$ ， $∠ B C P = n ∠ D C P$ ，下列结论：
①若 $∠ M A B = 30 °$ ， $∠ Q C B = 20 °$ ，则 $∠ A B C = 50 °$ ；
②当 $n = 2$ 时，若 $∠ A B C = 90 °$ ，则 $∠ C D A = 45 °$ ；
③ $∠ A B C + n ∠ C D A = 180 °$ ．
其中正确的结论有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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13、如图，若 $△ A B C$ 的面积为2，且点A，B，C分别是 $E C$ ， $A F$ ， $B D$ 的中点，则阴影部分的面积为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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14、已知 $a = 2^{44}, b = 3^{33}, c = 5^{22}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $a < b < c$ D、 $b > c > a$

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15、下列事件中属于必然事件的个数是（）
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则 $|a| > 0$ ；④367个人中至少有2个人生日相同．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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16、下列计算正确的是（）

A、 ${(- x^{5})}^{2} = {(- x^{2})}^{5}$ B、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ C、 ${(x^{3})}^{3} = x^{6}$ D、 $2 x^{3} \cdot x^{2} = 2 x^{5}$

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17、平面直角坐标系中，若函数图象上存在点 $P (x, y)$ ，其坐标满足 $2 (| x | + | y |) = k$ （ $k$ 为常数且 $k > 0$ ），则称此函数为“ $k -$ 定周函数”，点 $P$ 为“ $k -$ 定周点”．

(1)、在下列关于 $x$ 的函数中，是“ $2 -$ 定周函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，否则请打“×”．
① $y = 2 x + 1$ ；② $y = \frac{4}{x}$ ；③ $y = - x^{2} + 2$ ；

(2)、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} + a$ 是“ $8 -$ 定周函数”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、已知点 $A$ ， $B$ 是直线 $y = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}$ 上的两个“ $6 -$ 定周点”．问：在第一象限内是否存在“ $6 -$ 定周点” $P$ ，使得 $∠ A P B$ 度数最大？若存在，请求出此时点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $E$ ．其中 $A B = A D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B C < C D$ ．

(1)、填空：① $∠ B C A =$ ；② $\frac{B E}{A E} - \frac{C E}{D E} =$ ；③ $\frac{B C + D C}{A C} =$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 的面积为25，求点 $A$ 到 $C D$ 的距离；

(3)、若圆 $O$ 的半径为1，点 $I$ 为 $△ B C D$ 的内心，若 $O I = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $\frac{B E}{D E}$ 的值．

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19、某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌 $A B$ 的高度，他站在距离办公楼底部 $E$ 处6米远的地面 $C$ 处，测得宣传牌的底部 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，同时测得办公楼窗户 $D$ 处的仰角为 $30 °$ （ $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度 $i = 1 ∶ 1.5$ 的斜坡从 $C$ 走到 $F$ 处，此时 $D F$ 正好与地面 $C E$ 平行．

(1)、求 $D E$ 的长度（结果保留根号）；

(2)、若工程人员在 $F$ 处又测得宣传牌顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求宣传牌 $A B$ 的高度．（结果精确到0.1米， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20、如图所示，在 $▱ A B C D$ 中， $B F ⊥ A D$ 于 $F$ ， $B E ⊥ C D$ 于 $E$ ，且 $B F = B E$ ．

(1)、求证： $▱ A B C D$ 为菱形；

(2)、若 $∠ D = 120 °$ ， $A F = 3 c m$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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