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1、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中，如图所示， $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点O对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向右平移4个单位得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、线段 $A C$ 与 $A_{2} C_{2}$ 关于点D成中心对称，请直接写出点D的坐标．

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2、先化简： $(\frac{7}{a + 4} + a - 4) \div \frac{a^{2} - 6 a + 9}{a + 4}$ ，再将 $a$ 从 $- 4$ ， 2，3中选取一个适当的数代入求值．

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3、（1）解不等式组： $\{\begin{cases} 2 x + 1 \leq 5 (x - 1) \\ \frac{x}{2} - \frac{x + 1}{3} < 1 \end{cases}$ ；
（2）解方程： $\frac{2 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 2$ ．

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4、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 、 $B E$ ， $M$ 是 $A E$ 的中点，连接 $C M$ 交 $B E$ 于点 $N$ ．若 $B E = 6$ ，则 $B N$ 的长为．

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5、若关于 $x$ 的方程 $\frac{2 m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$ 无解，则 $m$ 的值为．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以点C，B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 $M N$ 分别交 $A B, C B$ 于点D，E，连接 $C D, A E$ 相交于点P．若 $∠ B = 23 °$ ，则 $∠ A P C$ 的大小为．

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7、已知 $x + y = 5$ ， $x y = 5$ ，则 $x^{2} y + x y^{2}$ 的值为．

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8、如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点E，连接 $A E ， B E ， C E$ ．过点B作 $B P ⊥ B E$ 交 $A E$ 于点P．若 $B E = B P = \sqrt{2}$ ， $P C = \sqrt{6}$ ，下列结论：
① $△ A B P ≌ △ B C E$ ；②点C到直线 $B E$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ；③P是 $A E$ 的中点；④ $S_{△ B C P} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点O，过点O作 $O E ⊥ A C$ 交 $A D$ 于E，若 $A E = 4$ ， $D E = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $4 \sqrt{2}$

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10、如图，将周长为12的 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移3个单位长度得到 $△ D E F$ ，则四边形 $A B F D$ 的周长为（）

A、18 B、17 C、16 D、15

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11、下列说法中，错误的是（）

A、如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等 B、若等腰三角形的两边长分别为 $4 cm, 2 cm$ ，则该等腰三角形的周长是 $8 cm$ 或 $10 cm$ C、三角形的三边分别为a，b，c，如果满足 $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ ，那么该三角形是直角三角形 D、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于 $60 °$ ”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于 $60 °$ ”

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12、用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（）

A、全等三角形 B、边长相等的正方形 C、边长相等的正三角形 D、边长相等的正五边形

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13、如图，已知一次函数 $y = a x + b$ 和 $y = k x$ 的图象交于点 $P (- 3, 1)$ ，当 $a x + b > k x$ 时，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x < 1$ C、 $x > - 3$ D、 $x < - 3$

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14、如图，B，C两地被池塘隔开，为了测量B，C间的距离，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段 $A B ， A C$ 的中点D，E，若小明测得 $D E$ 的长是12米，则B，C间的距离为（）米．

A、48 B、24 C、12 D、6

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15、若 $x < y$ ，则下列各式正确的是（）

A、 $\frac{x}{2} > \frac{y}{2}$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $2 - x > 2 - y$ D、 $x^{2} < y^{2}$

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16、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ B、 $a^{2} - 4 b^{2} = (a + 4 b) (a - 4 b)$ C、 $a^{2} - 2 a + 1 = a (a - 1) + 1$ D、 $a^{2} - 4 a + 4 = {(a - 2)}^{2}$

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17、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图1，矩形 $O A B C$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $(4, 4)$ ．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与 $B C$ 交于点 $E$ ，与 $A B$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、若 $△ O E F$ 的面积为 $\frac{15}{2}$ ，求反比例函数的解析式；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将 $△ O E F$ 沿 $x$ 轴的正方向平移得到 $△ P N M$ ，若线段 $A B$ 在 $△ P N M$ 内部的长度为3．求点 $P$ 的坐标．

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19、对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ．请解答下列问题．

(1)、计算： $f (2) + f (\frac{1}{2})$ ；

(2)、计算： $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + \dots + f (\frac{1}{2025})$ ；

(3)、探究是否存在正数 $m$ 使得 ${[f (m + 1)]}^{2} + {[f (\frac{1}{m - 1})]}^{2} + \frac{1}{m} = {[f (\frac{1}{m + 1})]}^{2} + {[f (m - 1)]}^{2}$ 成立，若存在，请求出 $m$ 的值．

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20、如图所示，直线 $l ： y = k x + 2 k (k \neq 0)$ 与 $x$ 轴负半轴、 $y$ 轴正半轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、若 $O A = O B$ ，求直线 $l$ 的解析式；

(2)、当 $k$ 取不同的值时，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上运动，以 $A$ 为旋转中心，将线段 $A B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得线段 $A M$ ，将线段 $A O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得线段 $A N$ ，连接 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，求证： $A P$ 的长为定值．

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