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1、若线段AB=6cm，C是线段AB 的一个黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为 cm(结果保留根号).

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2、如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E.若 $\frac{B D}{A D} = \frac{1}{2} ，$ 则△ADE与△ABC的周长之比为.

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3、如图，要在宽为22米的九洲大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱 BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线 DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱 BC的高度应该设计为( )

A、 $(11 - 2 \sqrt{2})$ 米 B、 $(11 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2})$ 米 C、 $(11 - 2 \sqrt{3})$ 米 D、 $(11 \sqrt{3} - 4)$ 米

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4、已知△ABC∽△A'B'C'，∠A=45°，∠B=105°，则∠C'等于( )

A、105° B、80° C、45° D、30°

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5、如图，已知 BD 是△ABC的角平分线，E是BD 延长线上的一点，且AE=AB.

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ C D B .$

(2)、若AB=6，BD=4，DE=5，求 BC的长.

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点 D，E，F分别在AB，AC，BC上， $D E ‖ B C ， D F ‖ A C ， \frac{A D}{D B} = \frac{2}{3} ，$ 已知四边形 DECF的面积为m，则. $△ A B C$ 的面积为.

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7、如图，矩形ABCD 的宽AB=5，若沿其长边对折后得到的矩形与原矩形相似，则长边BC的长为.

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8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，按图中虚线剪下的三角形与 $△ A B C$ 不相似的是( )

A、 B、 C、 D、

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9、如图，AB∥CD∥EF，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是( )

A、4.5 B、5 C、2 D、1.5

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10、[知识梳理]本题知识点：相似三角形的性质
①相似三角形的周长之比等于；②相似三角形的面积之比等于.

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11、如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD 于点F，CE平分 $∠ D C B$ 交AD 于点E，BF和CE 相交于点 P.

(1)、求证：AE=DF.

(2)、已知AB=4，AD=5.
①求 $\frac{P E}{P C}$ 的值.
②求四边形 ABPE 的面积与△BPC的面积的比值.

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12、[知识梳理]本题知识点：相似三角形的性质与判定
①三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②有对应相等的两个三角形相似；③对应成比例，且相等的两个三角形相似；④对应成比例的两个三角形相似；⑤相似三角形的对应角，对应边.

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13、如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.

(1)、求证：△ABE∽△DFA.

(2)、若AB=6，AD=12，AE=10，求 DF 的长.

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14、[知识梳理]本题知识点：比例的性质、比例中项
①比例的基本性质： $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ⇔(a，b，c，d都不为0)；②一般地，如果四条线段a，b，c，d中，有 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ，$ 那么四条线段a，b，c，d叫做，简称；③一般地，如果a，b，c满足比例式 $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ (或a：b=b：c)，则b叫做a，c的； $④ \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ ⇔；⑤如果点 P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB，使 AP>PB，且 $\frac{P B}{A P} = \frac{A P}{A B} ，$ 那么称线段 AB 被点 P ， $\frac{P B}{A P} = \frac{A P}{A B} =$ .

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15、已知：线段a=4 cm，b=9 cm，线段c是线段a，b的比例中项，则c为 cm.

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16、已知 P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP，且 $M P = (\sqrt{5} - 1) c m ，$ 则NP 等于( )

A、2cm B、 $(3 - \sqrt{5}) c m$ C、 $(\sqrt{5} - 1) c m$ D、 $(\sqrt{5} + 1) c m$

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17、已知 $\frac{x}{y} = \frac{5}{3} ，$ 则 $\frac{x - y}{y}$ 的值为( )

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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18、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，在AB的延长线上取点D，以AD为斜边作等腰Rt△ADE，AE交BC于点F，延长ED，CB交于点G．

(1)、求∠AFB的度数．

(2)、当点B是FG的中点时，求证：AF＝DG．

(3)、取BF的中点H，连结AH，如图2，判断△ACH的形状，并说明理由．

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19、设函数y₁＝ax+b，y₂＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y₁和y₂的图象的交点为点P．

(1)、求证：点P在y轴的右侧．

(2)、已知点P在第一象限，函数y₂的值随x的增大而增大．
①当x＝2时，y₁﹣y₂＝2，求a的取值范围．
②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y₁﹣y₂ $＜ \frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ ．

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20、 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数
B型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．

(1)、求A、B两种型号智能机器人的单价；

(2)、现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？哪种方案最省钱?最省的费用是多少？

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A型机器人台数	B型机器人台数	总费用（单位：万元）
1	3	260
3	2	360