相关试卷

1、中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（　　）

A、2668×10⁴ B、2.668×10⁷ C、2.668×10⁸ D、0.2668×10⁸

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2、中国国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3、实数6的相反数是（　　）

A、﹣6 B、9 C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4、请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：

(1)、问题背景：
小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段 $A B, C D$ 交于点 $O, ∠ A O C = 6 0^{∘}$ ，连接 $A C, B D$ ，求证： $A C + B D \geq C D$ ．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点 $C$ 作 $A B ∥ C E$ 且使 $A B = C E$ ，连接 $B E$ ，
$∴$ 四边形 $A B E C$ 为平行四边形，则 $A C =$     ▲         ，
$∵ A B ∥ C E$ ，
$∴ ∠ D C E = ∠$     ▲         $= 6 0^{∘}$ ，
又 $∵ C D = A B = C E$ ，
$∴ △ D C E$ 为等边三角形，
$∴ C D =$     ▲         ，
$∴ A C + B D = B E + B D \geq D E = C D$ ，即 $A C + B D \geq C D$ ．

(2)、类比运用：
如图2， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O ， A C = 3 ， B D = 4 ， A B = 5 ， ∠ A O C = 3 0^{∘}$ ， $∠ A C D + ∠ A B D = 24 0^{∘}$ ，求线段 $C D$ 的长；

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5、我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两个根是 $x_{1} ， x_{2}$ ，那么由求根公式可推出 $x_{1} + x_{2} = - p$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = q$ ，请根据这一结论，解决下列问题：

(1)、若 $α ， β$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根，则 $α + β =$ ， $α \cdot β =$ ；

(2)、已知 $a ， b$ 满足 $a^{2} - 5 a + 3 = 0$ ， $b^{2} - 5 b + 3 = 0$ ，求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值；

(3)、已知 $a ， b ， c$ 满足 $a + b + c = 0$ ， $a b c = 5$ ，求正整数 $c$ 的最小值．

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6、如图，一艘轮船以 $30 k m / h$ 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以 $10 k m / h$ 的速度由东向西移动，距台风中心 $200 k m$ 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离 $B C = 500 k m$ ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离 $A B = 300 k m$ ．

(1)、如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时否受到台风影响？

(2)、如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；

(3)、如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？

(4)、假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？

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7、已知 $△ A B C$ 的一条边 $B C$ 的长为5，另两边 $A B ， A C$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 3) x + k^{2} + 3 k + 2 = 0$ 的两个实数根．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、 $k$ 为何值时， $△ A B C$ 是以 $B C$ 为斜边的直角三角形？

(3)、 $k$ 为何值时， $△ A B C$ 是等腰三角形？

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8、 “我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从 $2022$ 年的 $20$ 万人增加到 $2024$ 年的 $33.8$ 万人．

(1)、求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．

(2)、其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为 $50$ 元时， $12$ 月份售出了 $150$ 组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加 $10$ 组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利 $3060$ 元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？

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9、解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$

(2)、 $3 {(x - 5)}^{2} = 10 - 2 x$

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10、计算：

(1)、 $\sqrt{18} + \frac{1}{5} \sqrt{50} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{2}} + (\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{6}}) \div \sqrt{3}$

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11、如图，点B为线段 $A D$ 上一点， $C B ⊥ A D$ ，以 $C D$ 为斜边作等腰 $R t △ C D E$ ，若线段 $A B$ 、 $C B$ 长为关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 k x + 4 k^{2} = 0$ 的两个根，

(1)、试判定此一元二次方程的根的情况；

(2)、求证： $A E = E D$ ；

(3)、若 $△ A E D$ 与 $△ C E D$ 的面积比 $2 : 3$ ， $B D = a$ ，则 $\frac{k}{a}$ =（直接写出答案）．

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12、已知 $a, b$ 是实数，且 ${(a + b + 1)}^{2}$ 与 $\sqrt{a - 1}$ 互为相反数，则 $\frac{1}{a} - b$ 的值为．

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13、在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为 $a ※ b = a b - 2 a$ ，根据这个规则，方程 $x ※ (x - 2) = - 4$ 的根为．

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14、要使代数式 $\frac{\sqrt{2 x - 2}}{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是．

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15、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若 $a - b + c = 0$ ，则它有一根为 $- 1$ ；
④若 $b = 2 a + 3 c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 两个不相等的实数根；
其中正确的是（）

A、②③④ B、①③④ C、②③ D、①②

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16、若 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 的三边长，且 $(a - b) (b - c) = 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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17、某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 28$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 28$ C、 $x (x + 1) = 28$ D、 $x (x - 1) = 28$

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18、下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{6} \times 3 \sqrt{6} = 6 \sqrt{6}$ C、 $4 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6} \div 2 = \sqrt{3}$

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19、将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知 $P Q ∥ M N$ ， $∠ A C B = ∠ E D F = 90 °$ ， $∠ A B C = ∠ B A C = 45 °$ ， $∠ D F E = 30 °$ ， $∠ D E F = 60 ° ．$

(1)、若三角板如图1摆放时，则 $∠ α =$ $°$ ， $∠ β =$ $° ．$

(2)、现固定 $△ A B C$ 位置不变，将 $△ D E F$ 沿 $A C$ 方向平移至点E正好落在 $P Q$ 上，如图2所示，作 $∠ P E A$ 和 $∠ M B C$ 的角平分线交于点H ，求 $∠ E H B$ 的度数；

(3)、将（2）中的 $△ D E F$ 固定，在 $△ A B C$ 绕点A以每秒 $15 °$ 的速度顺时针旋转至 $A B$ 与直线 $A N$ 首次重合的过程中，当 $△ A B C$ 的 $B C$ 边与 $△ D E F$ 的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值．

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20、阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组： ${\begin{array}{l} \begin{array}{l} 19 x + 17 y = 18 ① \\ 16 x + 14 y = 15 ② \end{array} \end{array}$
解： $① - ②$ ，得 $3 x + 3 y = 3$ ，即 $x + y = 1$ ． ③
$③ \times 14$ ，得 $14 x + 14 y = 14$ ． ④
$② - ④$ ，得 $2 x = 1$ ，解得 $x = \frac{1}{2}$ ．把 $x = \frac{1}{2}$ 代入③，解得 $y = \frac{1}{2}$ ，
∴原方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$

(1)、请你仿照上面的解法，解方程组： ${\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2025 x + 2023 y = 2024 \\ 2026 x + 2024 y = 2025 \end{array} \end{array}$

(2)、解关于x ， y的二元一次方程组： ${\begin{array}{l} (a + 1) x + (a - 1) y = a \\ (b + 1) x + (b - 1) y = b \end{array}$ （ $a \neq b$ ）．

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