相关试卷

1、 $T H E$ $M O N S T E R S$ （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩 $I P$ ，主要角色为 $L A B U B U$ 、 $Z I M O M O$ 、 $M O K O K O$ 、 $T Y C O C O$ 等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到 $L A B U B U$ 获得的数据如下：
抽盲盒次数n
100
150
200
500
800
1000
抽到 $L A B U B U$ 的次数m
11
20
b
79
128
161
抽到 $L A B U B U$ 的频率 $\frac{m}{n}$
a
$\begin{array}{l} 0.14 \end{array}$
$0.165$
$0.168$
$0.16$
$0.161$

(1)、表中的 $a =$ ______， $b =$ ______．

(2)、“抽到 $L A B U B U$ ”的概率的估计值是______（精确到 $0.01$ ）；

(3)、商场准备的2000个盲盒全部抽完，除 $L A B U B U$ 外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到 $Z I M O M O$ 的次数是多少个？

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2、我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，思考下面的问题．

(1)、如图，已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $B C = A D$ ，试说明 $A B ∥ C D$ ．
解：如图，连接 $A C$ ．
（请你补充完整…）

(2)、小云同学又连接了 $B D$ ，与 $A C$ 交于点O，通过观察、分析，他得出以下结论：
$①$ $∠ B A D = ∠ D C B$ ， $∠ A B C = ∠ C D A$ ；
$②$ $A O = C O$ ， $B O = D O$ ；
$③$ 图中共有两对全等三角形；
$④$ $△ A O B$ 和 $△ A O D$ 的面积相等；
请你通过观察、测量、分析等方法，判断结论正确的有______．（填写序号即可）

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3、（1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段 $A B$ 外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段 $A B$ 的垂线 $E F$ 和平行线 $G H$ ．
（2）判断 $E F 、 G H$ 的位置关系是______．
（3）连接 $A C$ 和 $B C$ ，则三角形 $A B C$ 的面积是______．

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4、小端同学在计算： $x (x - 2) - {(x + 2)}^{2}$ 时，解答过程如下．
解： $x (x - 2) - {(x + 2)}^{2}$
$= x^{2} - 2 x - (x^{2} + 4)$ ……第一步
$= x^{2} - 2 x - x^{2} + 4$ ……第二步
$= - 2 x + 4$ ……第三步

(1)、小端同学的解答从第______步开始出错．

(2)、请写出正确的解答过程．并求出当 $x = - 2$ 时，该代数式的值．

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5、如图， $△ A B C$ 的边 $A B, A C$ 的垂直平分线相交于点P，连接 $P B, P C$ ．若 $∠ A = 75 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是．

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6、在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义： $(a, b) = (a x + b) (b x + a)$ ．则 $(1, 2)$ 的化简结果是．

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7、计算： ${(- 2)}^{0} - 3^{- 2} =$ ．

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8、如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　）
名称
甲烷
乙烷
丙烷
丁烷
结构式





A、 $y = 4 x$ B、 $y = 2 x + 2$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = 3 x$

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9、如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　）

A、18 B、24 C、36 D、72

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10、迈尔斯-布里格斯性格分类测试 $(M B T I)$ 中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家 $(I N T J 、 I N T P 、 E N T J 、 E N T P)$ 、外交家 $(I N F J 、 I N F P 、 E N F J 、 E N F P)$ 、守护者 $(I S T J 、 I S F J 、 E S T J 、 E S F J)$ 、探险家 $(I S T P 、 I S F P 、 E S T P 、 E S F P)$ ，若小云同学参与 $M B T I$ 测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、下列各图形中， $∠ 1 = ∠ 2$ ，能确定 $A B ∥ C D$ 的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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12、下列计算正确的是（　　）

A、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{9}$ B、 $a^{4} + a^{2} = a^{6}$ C、 ${(a b)}^{3} = a^{3} b^{3}$ D、 $a^{3} \div a^{3} = a$

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13、学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．

(1)、当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直方向为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）；

(2)、第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于 $y$ 轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式；

(3)、学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加 $h$ 米，水柱落点形成的圆半径相应增加 $d$ 米， $h$ 与 $d$ 之间存在一定的数量关系，求出 $h$ 与 $d$ 之间的数量关系式；

(4)、已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加 $\frac{4}{5}$ 米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由．

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14、如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，线段 $B E$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，连接 $C E$ ，交 $B D$ ， $A B$ 于点 $F, G, ∠ E B G = ∠ B F E$ ．

(1)、求证： $C G ⊥ A B$ ；

(2)、求证： $A C \cdot B C = B D \cdot C G$ ；

(3)、如图2，若 $A C = \sqrt{6}, A G = \sqrt{3} B G, ∠ A B C = 60^{°}$ ，求阴影部分的面积．

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15、综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率 $y$ 随运动时间 $x$ （单位：秒）的变化而变化的函数模型 $y = 212 - \frac{7920}{63 + x}$ ．
【解决问题】

(1)、写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；

(2)、《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；

(3)、研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．

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16、某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分．
【收集数据】
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100.
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100.
【整理数据】

平均数
中位数
众数
八年级
a
87.5
c
九年级
85
b
80

(1)、直接写出 $a =$ _____； $b =$ _____； $c =$ _____．

(2)、该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数）

(3)、【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用 $k$ 表示中位数，则 $k$ 把这组数据分为两部分，依次记为 $S$ 和 $T$ ．用 $m$ 和 $n$ 分别表示 $S$ 和 $T$ 的中位数，则所有数据中小于或等于 $m$ 的占 $25 %$ ，小于或等于 $n$ 的占 $75 %$ ．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示．
根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图．

(4)、【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可）

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17、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O D$ 的中点，连接 $C E$ ．

(1)、尺规作图：作 $B O$ 的中点 $F$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A F$ ，证明： $A F = C E$ ．

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18、计算：

(1)、 $\frac{1}{4} \times {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{4}$ ．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．若 $B C = 4$ ， $△ A E D$ 的面积为5，则 $\cos ∠ C D E$ 的值为．

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20、把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是．

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抽盲盒次数n	100	150	200	500	800	1000
抽到 $L A B U B U$ 的次数m	11	20	b	79	128	161
抽到 $L A B U B U$ 的频率 $\frac{m}{n}$	a	$\begin{array}{l} 0.14 \end{array}$	$0.165$	$0.168$	$0.16$	$0.161$

名称	甲烷	乙烷	丙烷	丁烷
结构式

	平均数	中位数	众数
八年级	a	87.5	c
九年级	85	b	80