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相关试卷

1、学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究.对于平面内的一个四边形 ABCD，AD上若存在一点 O，使得 OB=OC且 OB⊥OC，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点 O为四边形 ABCD的“等垂点”.

(1)、【初步探索】
如图(1)，矩形 ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则 AB和 AD的数量关系是.

(2)、【类比探究】
如图(2)，四边形 ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点 B、C作 AD的垂线，垂足分别为 G、H.
①请写出 BG，CH，GH之间的数量关系，并证明；
②若 $A B = O B = C D = 2 \sqrt{5}, A O = 4,$ 求 OD的长.

(3)、【拓展应用】
如图(3) ，在 Rt△AMD中， AM=6， DM=10， ∠DAM=90°，点 B、C为 Rt△AMD中不在同一边上的两点，且点 B为所在边的中点，若以 A、B、C、D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出 C，D两点之间的距离.

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2、综合与实践
【教材重现】北师大版九年级下册教科书第 9页例 2：如图 1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01).图 2是该情境建模后的图形.(本题不用解答)
实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同.某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据.请解答下列问题：

(1)、如图 3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是 0.7m，将它往左拉 1.5m，此时踏板离地面 1.2m，求秋千链子 OA的长度；

(2)、如图 4，在(1)的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角∠AOD为 34°，求秋千踏板在 B、D处的高度差.(参考数据： $s i n 3 4^{\circ} \approx 0.559, c o s 3 4^{\circ} \approx 0.829, t a n 3 4^{\circ} \approx 0.675 .$ 结果精确到0.01)

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3、材料的疏水性
【情境引入】
“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图 1所示，接触角是过固、液、气三相接触点(点 M或点 N)所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角，图 1中的∠PMN就是水滴的一个接触角.

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出图 2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；(保留作图痕迹，不需要写作法)

(2)、材料的疏水性随着接触角的变大而(选填“变强”“不变”“变弱”)；

(3)、【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度 BC和底面圆的半径 AC (BC⊥AC)，求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数(如图 3).
请探索图 3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示)，并说明理由.

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4、“基础学科拔尖学生培养实验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才.已知 A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.

(1)、请将条形统计图补充完整；

(2)、在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为；若该市有 1000名中学生参加本次活动，则选择 A大学的大约有人；

(3)、甲、乙两位同学计划从 A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率.

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5、某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点 A，E，C，F在同一条直线上， ∠BAC=∠EDF=90°， ∠B=45°， ∠DEF=60°.当 AD∥BC时，求∠ADE的大小.

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6、解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) > 4, ① \\ \frac{2 x + 1}{3} > - 1 . ② \end{array}$ 点点同学的计算过程如下：
由①得， x-3x-6>4， - 2x>10， x>-5；
由②得， 2x+1>-1， 2x>-2， x>-1，
∴不等式组的解集为 x>-1.
请你判断点点同学的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程.

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7、如图，正方形 ABCD的边 AB=2，点 E、F为正方形边的中点，以 EF为半径的扇形交正方形的边于点 G、H，则 $\hat{G H}$ 长为.

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8、算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用.图(1)中算盘表示的数为 35，图(2)中算盘表示的数为 209，则图(3)中算盘表示的数为.

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9、如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O， ∠AOB=60°， AB=3，则AC的长为.

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10、已知 $x^{2} + 2 x = 4,$ 则代数式 $5 - x^{2} - 2 x$ 的值为.

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11、将二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象在 x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到 x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是( )

A、图象与 y轴的交点坐标是(0，-3) B、当 x=1时，函数取得最大值 C、图象与 x轴两个交点之间的距离为 4 D、当 x>1时，y的值随 x值的增大而增大

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12、如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为 54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是( )

A、26° B、36° C、46° D、54°

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13、以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )

A、2cm，3cm，5cm B、3cm，3cm，6cm C、5cm，8cm，2cm D、2cm，5cm，6cm

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14、下列图形中，不是轴对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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15、下列实数中，最大的是( )

A、-2 B、-1 C、3 D、6

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16、我们约定：如图 1， $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 x轴相交于 A (xA， yA) 、B (xB， yB)两点， $(x_{A} < x_{B}),$ 顶点为 M，而抛物线 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的顶点恰好为 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 上的点 B，且经过 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的顶点 M，那么我们将抛物线 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 称为抛物线 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的“兄弟函数”.

(1)、填空：抛物线 $y = - 2 x^{2} + 2$ 的“兄弟函数”为；

(2)、若抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 存在“兄弟函数”，求 c的取值范围；

(3)、已知点 P是正比例函数 $G_{1} : y = x (x⟩ 0)$ 上一点，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 从点 O出发，在射线 OP上移动，运动 t秒后，移动距离为 $\sqrt{2} t,$ 得到抛物线 G₂ ，抛物线 G₂的“兄弟函数”为 G₃.
①当 t=3时，抛物线 G₂的解析式为 ▲ ；
②当 t=4时，求抛物线 G₃的解析式；
③设抛物线 G₃与 G₁的另一交点为 D，当 OM=MD时，求 t的值.

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17、如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + c$ 与 x轴交于点 A (3， 0)，与 y轴交于点 B. 抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 经过点 A，B.

(1)、求点 B的坐标和抛物线的解析式；

(2)、M(m，0)为 x轴上一个动点，过点 M垂直于 x轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N，点M在线段 OA上运动，若以 B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点 M的坐标.

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18、【问题情境】
在我们的生活中，处处都蕴含着数学. 小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究. 他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁 (如图①)，另一类是洗手间内的旋转门锁 (如图②).
【问题提出】
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.
图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由 $\vec{A B}, \vec{D C}$ 和矩形 ABCD组成，且 $\vec{A B} = \vec{D C},$ 圆心是倒锁按钮点 F，若 $\vec{C D}$ 的弓形高EG=2cm，CD=8cm，此时可求出图③中圆心 F到 AB的距离.
图④是图②门锁的工作简化图，锁芯 O固定在门边 RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达 K处，把手绕锁芯 O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边 N点处，此时∠NOS=20°. 将ON绕点 O顺时针旋转 90°得到 OQ，过点 Q作 QM⊥PR 于点 M. 若(QN所在圆的半径 ON=10cm，此时可求出 MN的长度. (参考数据： $s i n 2 0^{\circ} \approx 0 . 342, c o s 2 0^{\circ} \approx 0 . 940, t a n 2 0^{\circ} \approx 0 . 364)$
【问题解决】

(1)、请求出图③中圆心 F到 AB的距离；

(2)、请求出图④中 MN的长度 (结果保留小数点后一位).

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19、如图， AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB， ∠C=75°， ∠D=45°.

(1)、求证： MN是⊙O的切线； .

(2)、若 AC=12，求 CD的长.

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20、 2022 年 11月 21 日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)、此次调查抽取的学生人数为人；

(2)、补全条形统计图；

(3)、学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.

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