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1、下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正．
甲：a为何值时，分式 $\frac{a^{2} + 6 a + 9}{a^{2} - 9}$ 有意义？
解：∵原式＝ $\frac{a + 3}{a - 3}$ ，
∴当 $a \neq 3$ 时，分式有意义．
乙：式子 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 2}$ 是分式还是整式？
解：∵原式 $= x - 2$ ，故 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 2}$ 是整式．
丙：化简分式 $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{1 - x^{2}}$ ．
解： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{1 - x^{2}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

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2、计算：

(1)、 ${(- x)}^{5} \cdot x^{2} \cdot {(- x)}^{4}$ ；

(2)、 $- a^{2} \cdot {(- a)}^{4} \cdot {(- a)}^{3}$ ；

(3)、 $- m^{4} \cdot m^{6} \cdot {(- m)}^{8}$ ；

(4)、 $- {(- p)}^{5} \cdot {(- p)}^{3} \cdot {(- p)}^{2}$ ．

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3、计算： ${(- a)}^{8} \div {(- a)}^{3} =$ ， ${(a + b)}^{6} \div {(a + b)}^{2} =$ ．

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4、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ ， $∠ B = ∠ D E F = 90 °$ ，点B，E，C，F在一条直线上．已知 $A B = 10, D O = 4, B F = 20, B E = 6$ ，则 $△ O E C$ 的面积为（　　）

A、24 B、26 C、32 D、48

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5、如图，边长为9的正方形 $A B C D$ 中放置两个长和宽分别为a， $b$ （ $a < 9$ ， $b < 9$ ）的长方形，若长方形的周长为24，面积为35.75，则图中阴影部分的面积 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 为（）

A、18.5 B、21.5 C、27.5 D、35.5

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6、 $△ A B C$ 如图所示，甲、乙两个三角形中能用“ $SAS$ ”证明和 $△ A B C$ 全等的是（　　）

A、只有甲 B、只有乙 C、甲和乙 D、都不是

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7、对于线段 $A B$ 与点 $M$ （点 $M$ 不在线段 $A B$ 上）给出如下定义：点 $N$ 为线段 $A B$ 上任意一点，如果线段 $M N$ 的长度有最小值，那么称这个最小值为点 $M$ 与线段 $A B$ 的“劣距”，记作 $d_{1} [点 M, 线段 A B]$ ；如果线段 $M N$ 的长度有最大值，那么称这个最大值为点 $M$ 与线段 $A B$ 的“优距”，记作 $d_{2} [点 M, 线段 A B]$ ．
如图， $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 45 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $A B = 3$ ．

(1)、 $d_{1} [点 C, 线段 A B] =$ ， $d_{2} [点 C, 线段 A B] =$ ；

(2)、点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ．若点 $P$ 在线段 $A B^{'}$ 上，且 $d_{2} [点 P, 线段 A B$ ]是 $d_{1}$ [点 $P$ ，线段 $A B$ ]的2倍，直接写出线段 $A P$ 的长度；

(3)、过点 $C$ 作 $E F ∥ A B$ ．若点 $M$ 在直线 $E F$ 上， $d_{1} [点 M, 线段 A B] < \sqrt{2}$ ，直接写出 $d_{2} [点 M, 线段 A B]$ 的取值范围．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，射线 $A M$ 交边 $B C$ 于点 $M$ ，且 $∠ B A M = 30 °$ ，点 $B$ 关于直线 $A M$ 的对称点为点 $D$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、证明： $∠ C A D = ∠ C B D$ ；

(3)、用等式表示 $C A$ ， $C B$ 和 $C D$ 的数量关系，并证明．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ A E D$ ；

(2)、求 $C D$ 的长．

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10、《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为 $120 c m$ ，宽为 $60 c m$ ，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是 $5 : 3$ ，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．

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11、下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明．
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
方法一证明：如图，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ．
方法二证明：如图，在 $A B$ 上截取 $B D = B C$ ，连接 $C D$ ．

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12、如图，已知点 $B$ ， $F$ ， $C$ ， $E$ 在同一条直线上， $A C = D F$ ， $B F = C E$ ， $A C ∥ D F$ ．
求证： $A B ∥ D E$ ．

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13、如图，在 $R t △ A B C$ 中． $∠ A C B = 90 °$ ．求作线段 $A B$ 的中点 $D$ ．小明发现作线段 $B C$ 的垂直平分线 $l$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，点 $D$ 即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依小明的思路作出点 $D$ （保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $D C$ ．
∵ $l$ 垂直平分 $B C$ ，
∴ $D C =$ （）（填推理依据）．
∴ $∠ B = ∠ D C B$ ．
∵ $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，
∴ $∠ A + ∠ B = 9 0^{∘}$ ， $∠ D C B + ∠ A C D = 9 0^{∘}$ ．
∴ $= ∠ A C D$ ．
∴ $D A = D C$ ．
∴ $D A = D B$ ．
∴点 $D$ 为线段 $A B$ 的中点．

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14、在不透明口袋里有除颜色外其它都相同的4个红球和3个白球．

(1)、先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A ．
①如果事件A是必然事件，则m的值为．
②如果事件A是随机事件，则m的值为．

(2)、先从袋子中取出n个红球，再放入除颜色外其它都相同的n＋3个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是 $\frac{1}{5}$ ，求n的值．

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15、先化简，再求值：已知 $x = \sqrt{2} + 1$ ，求代数式 $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{x + 1})$ 的值．

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16、解方程： $\frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x - 1} = 1$ ．

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17、计算： $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}$ ．

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18、计算： $\sqrt{27} + | 1 - \sqrt{3} | + {(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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19、如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ．

(1)、计算： $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} =$ ；

(2)、按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} + \dots + S_{99} + S_{100} =$ ．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 和点 $P$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，连接 $P B$ ， $P E$ ，则 $P B + P E$ 的最小值为．

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