相关试卷

1、比较大小： $- \frac{5}{6}$ $- |- \frac{7}{8}|$ （填“ $>$ “或” $<$ “）．

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2、小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板 $A B C$ 与三角板 $D E F$ 如图2所示摆放，其中 $∠ A C B = ∠ D F E = 90 °$ ， $∠ B A C = ∠ F D E = 60 °$ ， $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点A，B在直线上， $l_{1}$ 点D，E在直线 $l_{2}$ 上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小宁将三角板 $A B C$ 向右平移．

(1)、如图1，当点F落在线段 $B C$ 上时，求 $∠ B F E$ 的度数．

(2)、如图2，在三角板 $A B C$ 向右平移过程中，连结 $B F$ （初始状态E，F，B三点在同一直线上），记 $∠ B F E = α, ∠ C B F = β$ ．
①当点F在 $B C$ 右侧时，试探究 $α$ 与 $β$ 的数量关系．
②小宁发现，当点F在 $B C$ 左侧时， $α$ 与 $β$ 的数量关系将发生改变，那么此时 $α$ 与 $β$ 的数量关系是______．

(3)、思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板 $A B C$ 绕点A以每秒 $1 °$ 的速度顺时针旋转，同时小波将三角板 $D E F$ 绕点D以每秒 $2 °$ 的速度逆时针旋转，设时间为t秒， $∠ 1 = t °, ∠ 2 = 2 t °$ ，且 $0 \leq t \leq 60$ ，若边 $A C$ 与三角板 $D E F$ 的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．

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3、2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

(1)、求图1中的 $m =$ ________，本次调查数据的中位数是________ $h$ ，本次调查数据的众数是________ $h$ ；

(2)、该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？

(3)、若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于 $3 h$ 的人数．

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4、如图，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 延长线一点，连接 $A E$ 交 $C D$ 于F，作 $∠ A E G = ∠ A E B$ ， $E G$ 交 $C D$ 的延长线于G，连接 $A G$ ，当 $C E = B C = 4$ 时，作 $F H ⊥ A G$ 于H，连接 $D H$ ，则：①点F是 $C D$ 的中点；② $D H = 1$ ；③ $A H = \sqrt{10}$ ；④ $∠ A D H = 45 °$ ．其中正确的结论有．

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5、如图，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $B (3, 0)$ ，与函数 $y = 2 x$ 的图象交于点 $A$ ，则不等式 $0 < k x + b < 2 x$ 的解集为．

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{2} A B$ ， $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点E， $D H ⊥ A E$ 于点H，连接 $B H$ 并延长交 $C D$ 于点F，连接 $D E$ 交 $B F$ 于点O．下列结论：① $D H = B E$ ；② $D E$ 平分 $∠ C D H$ ；③ $O E = O D$ ；④ $H B = H F$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7、著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ )，大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ ， $B$ ， $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H (A$ ， $H$ ， $B$ 在同一条直线上 $)$ ，并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ ．测得 $C H = 0.8$ 千米， $H B = 0.6$ 千米，求新路 $C H$ 比原路 $C A$ 少多少千米？
【问题拓展】
(3) $△ A B C$ 中， $A C = 10$ ， $B C = 17$ ， $A B = 21$ ， $C H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ，请直接写出 $C H$ 的值．

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8、如图所示，在甲村至乙村的公路 $A B$ 旁有一块山地正在开发，现需要在 $C$ 处进行爆破，已知点 $C$ 与公路上的停靠站 $A$ 的距离为300米，与公路上的另一停靠站 $B$ 的距离为400米，且 $C A ⊥ C B$ ．为了安全起见，爆破点 $C$ 周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路 $A B$ 是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．

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9、如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上．请按要求回答下列问题：

(1)、线段 $A B$ 的长为______， $A C$ 的长为_____， $B C$ 的长为______；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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10、把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计）

(1)、求这个容器的侧面积；

(2)、如果向容器里注满水，则需注入多少水？

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11、已知： $x = 2 - \sqrt{3}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ，求下列各式的值．

(1)、 $x^{2} - 2 x y + y^{2}$

(2)、 $x^{2} - y^{2}$

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12、先化简，再求值： $\frac{a - b}{a - 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}} \cdot \frac{a b}{a - 2 b}$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ．

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13、计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$ ．

(2)、 $(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1) + {(- 2)}^{0} - \sqrt[3]{27}$ ．

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14、计算 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ 的值为；

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15、中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 $a = 6$ ，弦 $c = 10$ ，则小正方形 $A B C D$ 的面积是（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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16、如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（）

A、7 B、10 C、20 D、34

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17、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{27}$

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18、要使二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \leq - 1$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x < - 1$ D、 $x > - 1$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A E$ 是边 $B C$ 上的中线， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $F$ 为 $A B$ 的中点，连接 $E F$ ．已知 $A D = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为24．

(1)、求 $C E$ 的长．

(2)、若 $A E = 7$ ，求 $△ A E F$ 与 $△ B E F$ 的周长差．

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20、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 关于直线 $x = - 3$ 对称，与x轴交于 $A (- 1, 0)$ 、B两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P为抛物线对称轴上一点，连接 $B P$ ，将线段 $B P$ 绕点P逆时针旋转 $90 °$ ，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；

(3)、在线段 $O C$ 上是否存在点Q，使 $2 A Q + \sqrt{2} C Q$ 存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．

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