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1、如图，已知 $B C ⊥ A C$ ，圆心O在 $A C$ 上点M与点C分别是 $A C$ 与 $⊙ O$ 的交点，点P是 $A D$ 延长线与 $B C$ 的交点，且 $\frac{A D}{A P} = \frac{A M}{A O}$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 8$ ， $A M = M C$ ，求 $\frac{B P}{M D}$ 的值．

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 边上一点，且 $A E = E C$ ，点 $O$ 是 $A C$ 的中点，连接 $B O$ 并延长交 $C E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A E C ∽ △ B O C$ ；

(2)、若 $A E = 4$ ， $B C = 6$ ，求 $\frac{S_{Δ O F C}}{S_{Δ E D C}}$ 的值．

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3、计算：
（1） ${s i n}^{2} 60^{\circ} - t a n 30^{\circ} \cdot c o s 30^{\circ} + t a n 45^{\circ}$ ；
（2） ${s i n}^{2} 66^{\circ} + {c o s}^{2} 66^{\circ} - t a n 27^{\circ} \cdot t a n 63^{\circ}$ ．

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4、如图， $A B ⊥ C D$ 于点E，且 $A B = C D = A C$ ，若点I是 $△ A C E$ 的角平分线的交点，点F是 $B D$ 的中点．则 $∠ A I C =$ ；若 $∠ I A C = 15 °, A C = 2 + 2 \sqrt{3}, I C = 2$ ，则 $△ I B F$ 的面积为．

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5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3 $\sqrt{3}$ ，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点， $A E = 2$ ， $A B = 6$ ， $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{3}$ ， $△ A B C$ 的角平分线 $A F$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $\frac{A G}{G F}$ 的值为.

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7、将 $a + (b - c)$ 去括号得．

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8、如图，已知 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $P C ⊥ O B$ 于点C， $\tan ∠ P O C = \frac{1}{2}$ ， $O P = \sqrt{5}$ ， D为射线 $O A$ 上一点，连接 $P D$ ，则 $P D$ 的值不可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、2

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9、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线， $B$ ， $A$ ， $C$ 三点在同一条直线上，连接 $B D$ ， $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $25 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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10、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A ， B$ 均在坐标轴上，已知点 $A (0, 1)$ ， $B (2, 0)$ ， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，连接 $O C$ ，则 $O C$ 所在直线的表达式是（）

A、 $y = \frac{2}{3} x$ B、 $y = \frac{3}{2} x$ C、 $y = - \frac{2}{3} x$ D、 $y = - \frac{3}{2} x$

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11、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $(1, 0)$ ， $(3, 0)$ ，则下列判断错误的是（）

A、抛物线的对称轴是直线 $x = 2$ B、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别是1和3 D、当 $y < 0$ 时， $x < 1$

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12、如图1， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，点A为劣弧 $B C$ 的中点，直径 $A F = 10$ ，弦 $B C = 8$ ，点P为射线 $A C$ 上一点，点E为弧 $C F$ 上一动点， $A F$ 与 $B C$ 交于点D，连接 $A E, C E, B E, B C$ 与 $A E$ 交于点G．

(1)、求证： $△ A B G ∽ △ A E B$ ；

(2)、若 $S_{△ A C G} : S_{△ A C E} = 2 : 5$ ，求 $∠ E C P$ 的度数；

(3)、设 $S_{△ A C G} : S_{△ A C E} = x$ ，且 $\tan^{2} ∠ E C P = y$ ．
①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）；
②如图2，若 $A F$ 与 $B E$ 交于点Q，作 $D M ⊥ A E$ 于点H，交 $A C$ 于点M，当 $S_{△ C D M} = \frac{7}{10} S_{△ A B Q}$ 时，求x的值．

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13、对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 $a \leq x \leq b$ ，函数值y的取值范围为 $m \leq y \leq n$ ，且满足 $n - m = k (b - a)$ ，则称此函数为“ $k -$ 拉伸函数”．
例如：正比例函数 $y = - 2 x$ ，当 $1 \leq x \leq 4$ 时， $- 8 \leq y \leq - 2$ ，则 $- 2 - (- 8) = k \times (4 - 1)$ ，解得 $k = 2$ ，所以函数 $y = - 2 x$ 为“ $2 -$ 拉伸函数”．

(1)、①一次函数 $y = 2 x - 3 (0 \leq x \leq 4)$ 为“ $k -$ 拉伸函数”，则k的值为________；
②若一次函数 $y = c x + 2 (0 \leq x \leq 3)$ 为“ $3 -$ 拉伸函数”，则c的值为________．

(2)、反比例函数 $y = \frac{p}{x} (p > 0, a \leq x \leq b$ ，且 $0 < a < b)$ 是“ $p -$ 拉伸函数”，且 $a + b = \sqrt{2028}$ ，请求出 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、已知二次函数 $y = - 2 x^{2} + 4 d x + d^{2} + 2 d$ ，当 $- 1 \leq x \leq 3$ 时， $y = - 2 x^{2} + 4 d x + d^{2} + 2 d$ 是“ $k -$ 拉伸函数”，求k的取值范围．

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14、2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德 $(Alex Honnold)$ 成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即 $A M = 60$ 米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为 $60 °$ ，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为 $45 °$ ．已知点 $A, C, M$ 在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为 $1 : 3$ （即 $\tan ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ），测倾器高度忽略不计．

(1)、求攀登难点N的高度（即 $M N$ 的长）；

(2)、求观察点B的铅直高度（结果保留根号）．

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15、在2026年春晚舞台，宇树科技的 $G 1$ 与 $H 2$ 两款机器人表演《武 $B O T$ 》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．

(1)、甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？

(2)、已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？

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16、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于点O，点 $E, F$ 在 $A C$ 上，且 $A E = C F$ ，连接 $B E, B F, D F, D E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、若 $∠ F E B = ∠ E F B$ ，判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由．

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17、2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年．为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三（1）班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题：

(1)、初三（1）班总人数为________人， $m =$ ________；

(2)、射中“1次”对应的扇形圆心角为________；

(3)、在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, ∠ A B C = 60 °$ ，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边 $A B, B C$ 于点 $E, F$ ，再分别以点 $E, F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接 $B G$ 并延长交 $A C$ 于点D．

(1)、求证： $B D$ 平分 $∠ A B C$ ；

(2)、若 $C D = 1$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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19、计算： $\sqrt{9} - | \sqrt{2} - 1 | + 2 \cos 45 ° - {(\frac{1}{3})}^{0}$ ．

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20、小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形 $A B C D$ ，其中点O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形 $B P Q$ ，且 $B Q = B C = 4$ ．他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形．当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点 $P, Q$ 与正方形的一个顶点D恰好三点共线．此时 $D Q$ 的长度为．

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