相关试卷

1、观察下列等式：
第1个等式： $\frac{2^{2}}{1 \times 3} - 1 = \frac{1}{1 \times 3};$
第2个等式： $\frac{3^{2}}{2 \times 4} - 1 = \frac{1}{2 \times 4};$
第3个等式： $\frac{4^{2}}{3 \times 5} - 1 = \frac{1}{3 \times 5};$
第4个等式： $\frac{5^{2}}{4 \times 6} - 1 = \frac{1}{4 \times 6};$
…
按照以上规律，解决问题：

(1)、写出第5个等式：；

(2)、写出第n个等式（用含 n 的式子表示），并说明等式成立的理由；

(3)、计算： $(1 + \frac{1}{1 \times 3}) \times (1 + \frac{1}{2 \times 4}) \times (1 + \frac{1}{3 \times 5}) \times \dots \times (1 + \frac{1}{98 \times 100}) .$

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2、有一杯糖水质量为 mg，其中糖的质量为 ng.

(1)、这杯糖水溶液浓度为，向其中加入 ag糖后的溶液浓度为；（提示：溶液浓度=溶质质量×100%，这里溶质为糖，溶液为糖水）

(2)、根据我们的生活经验可知，在一定条件下，往水中加糖，糖水会越来越甜，请你用所学的数学知识解释这一现象.

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3、小华解分式方程：

\frac{x}{x + 5} - \frac{1}{5 - x} = 1

的过程如下：

解：方程两边同乘最简公分母（5-x）（5+x），

去分母，得x（5-x）-5+x=（5-x）（5+x）， ①

去括号，得 $5 x - x^{2} - 5 + x = 25 - x^{2},$ ②

移项、合并同类项，得（6x=30， ③

系数化为1，得x=5， ④

检验：当x=5时，（5-x）（5+x）=0，

∴此分式方程无解.

(1)、以上步骤，开始出错的步骤是（填序号），错误的原因是；

(2)、请写出正确解方程的过程.

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4、先化简： $(\frac{x^{2} + 1}{x} - x - 1) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x},$ 再从-1，0，1中选择一个合适的数代入求值.

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5、解分式方程： $\frac{x}{x - 4} - \frac{20}{x^{2} - 16} = 1 .$

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6、计算： $\frac{1}{x^{2} - y^{2}} \div (1 - \frac{x}{x + y}) .$

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7、如图，数轴上有四条线段分别标有①，②，③，④，则表示分式 $\frac{3 x + 4}{x + 4} -$ $\frac{x^{2} - 16}{{(x + 4)}^{2}}$ 的值的点应落在数轴的段.（填序号）

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8、某校九年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时从起跑线起跑，两人到达终点的时间和为9分钟，其中乙同学的速度是甲同学速度的1.25倍，则乙同学的速度是米/分钟.

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9、已知 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3,$ 则 $\frac{3 x + 3 y - 2 x y}{2 x - 2 x y + 2 y}$ 的值为.

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10、分式 $\frac{5}{3 a^{2} c}, \frac{1}{4 a b^{3}}, \frac{7}{6 a b c}$ 的最简公分母是.

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11、若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、m>0且m≠3 B、m<6且m≠3 C、m<6 D、m≠3

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12、已知 $a^{2} - 8 a + 1 = 0,$ 则 $2 a^{2} - 8 a + \frac{1}{a^{2}}$ 的值为（）

A、64 B、63 C、62 D、61

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13、 DeepSeek 公司研发的两个 AI模型. $R_{1}$ 和R₂共同处理一批数据.已知. $R_{2}$ 单独处理数据的时间比 $R_{1}$ 少2小时.若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成.设R₁单独处理需要x小时，则下面所列方程正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1.5$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{1.5}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{1.5}$ D、x+（x-2）= 1.5

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14、下面是一道分式化简运算正确的解题过程.
$\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9} + \frac{3 x}{3 x - x^{2}} = \frac{(x + 3)^{2}}{A (x + 3)} + \frac{3 x}{B (3 - x)} = \frac{x + 3}{x - 3} △ \frac{3}{x - 3} = \frac{△}{x - 3} .$
则下列说法正确的是（）

A、A=x B、B=x+3 C、△表示“+”号 D、▲=x

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15、已知 $a = {(- \frac{1}{3})}^{- 2}, b = {(- \frac{1}{3})}^{2}, c = {(π + 2026)}^{0},$ 则a，b，c的大小关系为（）

A、a>b>c B、a>c>b C、b>c>a D、b>a>c

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16、计算 $\frac{- a^{2}}{b^{2}} \cdot {(\frac{3 b}{2 a^{2}})}^{2} \div \frac{3 b}{a}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{2 a b}$ B、 $- \frac{1}{2 a b}$ C、 $\frac{3}{4 a b}$ D、 $- \frac{3}{4 a b}$

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17、下列从左到右变形正确的是（）

A、 $\frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x}$ B、 $\frac{y (z^{2} + 1)}{x (z^{2} + 1)} = \frac{y}{x}$ C、 $\frac{b}{a} = \frac{b + 2}{a + 2}$ D、 $\frac{b^{3}}{a^{3}} = \frac{b}{a}$

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18、《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米.其中数据0.000 0025用科学记数法可表示为（）

A、 $0.25 \times 1 0^{- 7}$ B、 $2.5 \times 1 0^{- 5}$ C、 $2.5 \times 1 0^{- 6}$ D、 $25 \times 1 0^{- 5}$

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19、分式方程 $\frac{2}{x - 4} = \frac{1}{x}$ 的解为（）

A、x=6 B、x=4 C、x=-4 D、x=-2

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20、若分式 $\frac{2 x + 2}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x>1 B、x>-1 C、x≠1 D、x≠-1

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