相关试卷

1、下列式子中，运算正确的是（ )。

A、 $\sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = - 1$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 ${(3 - \sqrt{10})}^{2} = 19 - 6 \sqrt{10}$

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2、阅读材料，解答问题。
进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{3}{\sqrt{5}}, \sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，我们可以将其进一步化简：
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5};$
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3};$
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1 。$
以上这种化简的步骤叫作分母有理化。
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用不同的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} 。$

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}} 。$

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3、已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(- \sqrt{3})}^{0}, b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}),$ 则 $\sqrt{a + b} =$ 。

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4、计算 $(\sqrt{10} + 1) (\sqrt{10} - 1)$ 的结果等于。

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5、已知 $a = \sqrt{2}, b = \sqrt{20},$ 用含a，b的代数式表示 $\sqrt{0.016} 。$

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6、已知 $m = (- \frac{\sqrt{3}}{3}) \times (- 2 \sqrt{21}),$ 求 $\frac{m}{\sqrt{7}}$ 的值。

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7、已知 $a = 1 - \sqrt{2}, b = 1 + \sqrt{2},$ 则 $a^{2} + a b + b^{2}$ 的值为。

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8、在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（）。

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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9、计算 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \div 3 \sqrt{2}$ 的结果是（）。

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{\sqrt{2}}$

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10、计算：

(1)、 $2 \sqrt{5} \times 3 \sqrt{10} 。$

(2)、 $2 \sqrt{8} \div 4 \sqrt{2} 。$

(3)、 $- \sqrt{3} \times \sqrt{(- 16) \times (- 36)}$

(4)、 $\sqrt{1 \frac{3}{5}} \times 2 \sqrt{3} \times (- \frac{1}{2} \sqrt{10}) 。$

(5)、 $3 \sqrt{2 \frac{2}{3}} \times (- \frac{1}{8} \sqrt{15}) \div \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{5}} 。$

(6)、 $\frac{2}{y} \sqrt{x y^{5}} \times (- \frac{3}{2} \sqrt{x^{3} y}) \div (\frac{1}{3} \sqrt{\frac{y}{x}}) 。$

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11、已知 $\sqrt{x (x - 6)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 6},$ 请写出一个满足条件的x的值：。

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12、计算： $\sqrt{\frac{49}{81}}$ =； $\sqrt{5} \times \sqrt{10} =$ ； $\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{15}}{\sqrt{3}} =$

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13、在算式 $(- \frac{\sqrt{2024}}{2024}) □ (- \frac{\sqrt{2024}}{2024})$ 的□中填运算符号，能使结果最大的是（）。

A、加号 B、减号 C、乘号 D、除号

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14、能使等式 $\sqrt{\frac{x}{x - 2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}}$ 成立的x的取值范围是（）。

A、x≠2 B、x≥0 C、x>2 D、x≥2

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15、下列各式中，计算正确的是（）。

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ C、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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16、计算 $\sqrt{\frac{x^{3}}{9}} \div \sqrt{x}$ 的结果是（）。

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3 x}$ C、 $\frac{x}{3}$ D、 $\pm \frac{x}{3}$

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17、计算 $\sqrt{24} \times \sqrt{\frac{1}{6}}$ 的结果是（）。

A、4 B、 $\pm \sqrt{4}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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18、阅读材料：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m，n，满足 $m^{2} + n^{2} = x$ 且mn= $\sqrt{y},$ ，则可以把. $x \pm 2 \sqrt{y}$ 变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n = {(m \pm n)}^{2}$ 后进行开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简。
例如：化简： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} 。$
解： $∵ 3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2},$
$∴ \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2} 。$
请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} 。$

(2)、 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} 。$

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19、观察下列各式及其验证过程：
$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}},$ 验证： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 3}} = \sqrt{\frac{2}{2^{2} \times 3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}};$
$\sqrt{\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}},$ 验证： $\sqrt{\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 3 \times 4}} = \sqrt{\frac{3}{2 \times 3^{2} \times 4}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}}$
$\sqrt{\frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}},$ 验证： $\sqrt{\frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \sqrt{\frac{1}{3 \times 4 \times 5}} = \sqrt{\frac{4}{3 \times 4^{2} \times 5}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}}$

(1)、根据上述三个等式及其验证过程，猜想 $\sqrt{\frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}$ 的变形结果并进行验证。

(2)、针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥1)表示的等式，不需要证明。

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20、阅读下面的解题过程，判断其是否正确。若不正确，请写出正确的解答过程。
已知m为实数，化简： $- \sqrt{- m^{3}} - m \sqrt{- \frac{1}{m}} 。$
解：原式 $= - m \sqrt{- m} - m \cdot \frac{1}{m} \sqrt{- m} = (- m - 1) \sqrt{- m} 。$

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