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1、龙城初级中学数学兴趣小组现场学习：在 $△ A B C$ 中， $A B 、 B C 、 A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{10}$ 、 $\sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 $△ A B C$ （即 $△ A B C$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 $△ A B C$ 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

(1)、 $△ A B C$ 的面积为：；

(2)、 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高为；

(3)、在图1右侧空白部分，画线段 $D E = \sqrt{10}$ ，并以 $D E$ 为边作 $Rt △ D E F$ ，使其面积为2（只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上）．

(4)、如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形 $P R B A, R Q D C, Q P F E$ 的面积分别为13，10，17，则花坛中间 $△ P Q R$ 的面积为．

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2、规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题．
$O A_{2}^{2} = {(\sqrt{1})}^{2} + 1 = 2$ ， $S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$ （ $S_{1}$ 是 $△ O A_{1} A_{2}$ 的面积）；
$O A_{3}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 1 = 3$ ， $S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ （ $S_{2}$ 是 $△ O A_{2} A_{3}$ 的面积）；
$O A_{4}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 1 = 4$ ， $S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ （ $S_{3}$ 是 $△ O A_{3} A_{4}$ 的面积）；
……

(1)、 $O A_{10} =$ ；

(2)、 $S_{n} =$ ；

(3)、求出 $\frac{1}{S_{1} + S_{2}} + \frac{1}{S_{2} + S_{3}} + \frac{1}{S_{3} + S_{4}} + \dots + \frac{1}{S_{2022} + S_{2023}}$ 的值．

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3、某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： $s = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a ， b ， c为三角形的三边长）．
材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式 $s \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中a ， b ， c为三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}$ ）
请你用适合的公式解决问题．

(1)、三角形的三边长为 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $c = 3$ ，则面积为；

(2)、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D = 7$ ， $A D = 6$ ， $∠ B = 90 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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4、【背景介绍】
如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 $c^{2}$ ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(b - a)}^{2}$ ，从而得到等式 $c^{2} = 4 \times \frac{1}{2} a b + {(b - a)}^{2}$ ，化简便得结论 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．

(1)、【方法运用】
请利用“双求法”解决问题：如图2，在 $6 \times 6$ 的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 $△ A B C$ ，则 $A B$ 边上的高的长度为；

(2)、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D ．设 $A D = a$ ， $B D = b$ ， $C D = m$ ．
①用“双求法”表示 $A C^{2} + B C^{2}$ ，可以得到关于a ， b ， m的关系式：_▲_；
②用含a ， b的代数式表示 $Rt △ A B C$ 的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小；

(3)、【知识迁移】
如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？

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5、阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点 $A (x_{1}, 0)$ 、 $B (x_{2}, 0)$ 的距离记作 $A B = |x_{1} - x_{2}|$ ，如果 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 $A B$ 间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线 $A M_{1}$ 、 $A N_{1}$ 和 $B M_{2}$ 、 $B N_{2}$ ，垂足分别是 $M_{1}$ 、 $N_{1}$ 、 $M_{2}$ 、 $N_{2}$ ，直线 $A N_{1}$ 交 $B M_{2}$ 于点Q ，在 $Rt △ A B Q$ 中， $A Q = |x_{1} - x_{2}|$ ， $B Q = |y_{1} - y_{2}|$ ，
∴ $A B^{2} = A Q^{2} + B Q^{2} = {|x_{1} - x_{2}|}^{2} + |y_{1} - y_{2}| = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ ．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 间的距离公式．

利用上面公式解决下列问题：

(1)、直接应用平面内两点间距离公式计算点 $A (1, - 3)$ ， $B (- 2,1)$ 之间的距离；

(2)、在平面直角坐标系中的两点 $A (0,3)$ ， $B (4,1)$ ， P为x轴上任一点，求 $P A + P B$ 的最小值和此时点P的坐标；

(3)、应用平面内两点间的距离公式，求代数式 $\sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} + \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}$ 的最小值（直接写出答案）．

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6、用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得 $x_{1} = 0, x_{2} = 1, x_{3} = - 2$ ．如，解根号下含有未知数的方程 $\sqrt{x + 1} = 2$ ，可以通过方程两边平方把它转化为 $x + 1 = 4$ ．解 $x = 3$ ．再如求式子 $y = \frac{2 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的最小值，可以得 $y x^{2} + 2 y x + y = 2 x^{2} - 3 x$ ，整理得 $(y - 2) x^{2} + (2 y + 3) x + y = 0$ ，当 $y = 2$ 时， $7 x + 2 = 0, x = - \frac{2}{7}$ ；当 $y \neq 2$ ，方程有解，
$Δ = b^{2} - 4 a c = {(2 y + 3)}^{2} - 4 (y - 2) y = 20 y + 9 \geq 0$ ，即 $y \geq - \frac{9}{20}$ ，所以最小值为 $- \frac{9}{20}$ ．

(1)、解下列方程：
① $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x = 0$ ，
② $\sqrt{2 x + 3} = x$

(2)、根据材料给你的启示，求函数 $y = \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的最小值．

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7、材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a ，中斜为b ，大斜为c ，则三角形的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a ， b ， c ，则它的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $P = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，这个公式称之为海伦公式．
请解决下列问题：

(1)、若一个三角形边长依次为 $5 、 6 、 7$ ，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为 $5 、 6 、 7$ ，即 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 7$ ，
∴ $p = \frac{1}{2} (a + b + c) = \frac{1}{2} (5 + 6 + 7) =$ ．
根据海伦公式可得： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} =$ ．

(2)、请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{6}$ ， $\sqrt{7}$ ，求这个三角形的面积．

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8、化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

(1)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 a^{2} - 12 a - 1$ 的值；

(2)、比较 $\sqrt{2025} - \sqrt{2024}$ 与 $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ 的大小，并说明理由．

(3)、利用这一规律计算： $\frac{1}{2 \sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \frac{1}{4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{2024 \sqrt{2023} + 2023 \sqrt{2024}}$ ．

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9、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样解答的；
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{2} - 4 a + 3$ 的值．

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10、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ，

(1)、求 $x y$ 及 $x + y$ 的值；

(2)、求 $x^{2} - 3 x y + y^{2}$ 的值．

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11、

(1)、已知 $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}$ ，求代数式 $x (\sqrt{6} - x) + (x + \sqrt{5}) (x - \sqrt{5})$ 的值．

(2)、若 $x$ 的小数部分是 $m, y$ 的小数部分是 $n$ ，求 ${(m + n)}^{2021} - \sqrt[3]{{(m - n)}^{3}}$ 的值．

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12、阅读例题： $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ，用上述类似的方法解答问题：若a是 $\sqrt{5}$ 的小数部分，则 $\frac{\sqrt{5}}{a}$ 的值为（）

A、 $5 + \sqrt{5}$ B、 $5 - \sqrt{5}$ C、 $5 + 2 \sqrt{5}$ D、 $5 - 2 \sqrt{5}$

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13、计算 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{12}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{6} - \sqrt{8} + \sqrt{12}}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ C、1 D、2

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14、阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如： $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

(1)、将 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ 分母有理化可得；

(2)、关于 $x$ 的方程 $3 x - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{97} + \sqrt{99}}$ 的解是．

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15、已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n ，则 $5 m^{2} + {(x - n)}^{2} - y$ 的值为．

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16、把式子分母有理化过程中，错误的是（）

A、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = \frac{(m - n) (\sqrt{m} + \sqrt{n})}{(\sqrt{m} - \sqrt{n}) (\sqrt{m} + \sqrt{n})} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ B、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ C、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(m - n) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$ D、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$

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17、若 $\sqrt{20}$ 与最简二次根式 $\frac{1}{3} \sqrt{3 - m}$ 是同类二次根式，则 $m$ 的值为．

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18、二次根式 $\sqrt{2 x^{2}}$ 、 $\sqrt{m^{2} - 2 m + 1}$ 、 $\sqrt{26 x y}$ 、 $\sqrt{\frac{1}{p - 1}}$ 中是最简二次根式的有个．

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19、在 $\sqrt{48}$ 、 $\sqrt{15}$ 、 $- \sqrt{28}$ 、 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 、 $\sqrt[3]{2}$ 中，是最简二次根式的是．

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20、下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{243}$ C、 $\sqrt{36 m}$ D、 $\sqrt{m^{2} + 2}$

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