相关试卷

1、先化简，再求值： $(x + 2 y) (x - 2 y) + (x + y) (x^{2} - x + 4 y) - 3 x y$ ，其中 $x = - 1 ， y = 2$ ．

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2、计算

(1)、 $(3 x - 1) (2 x + 3) - {(- 3 x)}^{2}$ ；

(2)、 ${(2 a - b)}^{2} - 2 a (2 a - 3 b)$ ；

(3)、先化简，再求值： ${(x + 2 y)}^{2} - (x - 2 y) (- 2 y - x) - {(2 x)}^{2}$ ，其中 $x = - 3$ ， $y = \frac{1}{3}$ ．

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3、我们已学完全平方公式： $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ ，观察下列式子： $x^{2} + 4 x + 2 = (x^{2} + 4 x + 4) - 2 = (x + 2)^{2} - 2$ ，
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0, ∴ x^{2} + 4 x + 2 = (x + 2)^{2} - 2 \geq - 2$ ，原式有最小值是 $- 2$ ；
$- x^{2} + 2 x - 3 = - (x^{2} - 2 x + 1) - 2 = - {(x - 1)}^{2} - 2$ ，
$∵ - (x - 1)^{2} \leq 0, ∴ - x^{2} + 2 x - 3 = - (x - 1)^{2} - 2 \leq - 2$ ，原式有最大值是 $- 2$ ；
并完成下列问题：

(1)、代数式 $x^{2} - 4 x + 1$ 有最（填大或小）值，这个值= ．

(2)、解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为 $x$ 米，完成下列任务．
①用含 $x$ 的式子表示花圃的面积；②请说明当 $x$ 取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

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4、阅读以下材料：若 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 10 y + 29 = 0$ ，求 $x 、 y$ 的值．
思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出 $x 、 y$ ．
解： $∵ x^{2} - 4 x + y^{2} - 10 y + 29 = 0$ ，
$∴ (x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} - 10 y + 25) = 0$ ， $∴ (x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 0$ ，
又 $(x - 2)^{2} \geq 0, (y - 5)^{2} \geq 0$ $∴ x = 2, y = 5$ ．
请你根据上述阅读材料解决下列问题：

(1)、若 $4 m^{2} - 8 m + n^{2} + 6 n + 13 = 0$ ，求 $m - 2 n$ 的值；

(2)、当 $a ， b ， c$ 分别取何值时，代数式 $a^{2} + 10 b^{2} + c^{2} - 6 a b - 4 b + 12 c + 63$ 有最小值？并求其最小值．

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5、已知 $(2023 + m) (2021 + m) = n$ ，则 ${(2023 + m)}^{2} + {(2021 + m)}^{2}$ 的值为（）

A、 $2 n$ B、 $2 n + 4$ C、 $2 n + 2$ D、 $2 {(n + 1)}^{2}$

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6、已知 $x + \frac{1}{x} = 4$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值为（）

A、14 B、 $\frac{1}{4}$ C、7 D、4

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7、已知 $m - n = 3$ ， $m n = 1$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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8、同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题：

(1)、【基础公式】请写出完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} =$ ；

(2)、【公式变形】公式可以变形为 $a^{2} + b^{2} =$ ；

(3)、【基础应用】已知： $a + b = 8$ ， $a b = 15$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(4)、已知： $a + \frac{1}{a} = 3$ ，求 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值；

(5)、【拓展拔高】若 $a^{2} - 5 a + 1 = 0$ ，求 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值．

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9、若代数式 $x^{2} + 2 (1 - k) x + 9$ 是一个完全平方式，则 $k =$ ．

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10、若x满足 $(9 - x) (x - 4) = 4$ ，求 ${(4 - x)}^{2} + {(x - 9)}^{2}$ 的值．
解：设 $9 - x = a$ ， $x - 4 = b$ ，则 $(9 - x) (x - 4) = a b = 4$ ， $a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$ ， $∴ {(9 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ．
请仿照上面的方法求解下面问题：

(1)、若 $x$ 满足 $(7 - x) (x - 2) = 2$ ，求 ${(7 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值；

(2)、 ${(n - 2021)}^{2} + {(n - 2023)}^{2} = 34$ ，求 $(n - 2021) (n - 2023)$ 与 ${(4044 - 2 n)}^{2}$ 的值；

(3)、已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$ ， $E ， F$ 分别是 $A D$ 、 $D C$ 上的点，且 $A E = 1$ ， $C F = 3$ ，长方形 $E M F D$ 的面积是15，分别以 $M F$ 、 $D F$ 为边作正方形，求阴影部分的面积．

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11、如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（）．

A、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

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12、利用乘法公式进行计算：

(1)、 ${(- 202)}^{2}$ ；

(2)、 $12 3^{2} - 125 \times 121$ ．

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13、 $- (x - y)^{2} =$ （）

A、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ B、 $- x^{2} + 2 x y - y^{2}$ C、 $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ D、 $- x^{2} - 2 x y - y^{2}$

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14、已知 $y = x + 5$ ，则代数式 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 26 =$ ．

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15、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ $a > b$ ），把余下的部分剪拼成一个矩形．

(1)、通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：____；

A、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 $a^{2} + a b = a (a + b)$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$

(2)、应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知： $a + b = 6, a^{2} - b^{2} = 24$ ，求 $a - b$ 的值；②计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times ⋯ \times (1 - \frac{1}{202 4^{2}})$ ．

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16、如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（）

A、 ${(m - n)}^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2}$ B、 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ C、 ${(m - n)}^{2} = m^{2} - n^{2}$ D、 $m (m - n) = m^{2} - m n$

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17、如果一个数大于0且等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（）

A、205 B、250 C、502 D、520

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18、 $(- 5 x - 3 y)$ $= 9 y^{2} - 25 x^{2}$ ．

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19、下列式子可用平方差公式计算的是（）

A、 $(a + 2 b) (2 a - b)$ B、 $(a - b) (b - a)$ C、 $(a + b) (b + a)$ D、 $(2 a + b) (2 a - b)$

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20、【观察发现】
∵ ${(\sqrt{6} + \sqrt{5})}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2} + 2 \sqrt{6 \times 5} = 11 + 2 \sqrt{30}$ ．
∴ $\sqrt{11 + 2 \sqrt{30}} = \sqrt{{(\sqrt{6} + \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ ；
∵ ${(2 + \sqrt{3})}^{2} = 2^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，
∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{{(2 + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、【初步探索】
化简： $\sqrt{10 + 2 \sqrt{21}} =$ ；

(2)、形如 $\sqrt{m - 2 \sqrt{n}}$ 可以化简为 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ，即 $\sqrt{m - 2 \sqrt{n}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ ，且 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 均为正整数，用含 $a$ ， $b$ 的式子分别表示 $m$ ， $n$ ，得 $m =$ ， $n =$ ；

(3)、若 $\sqrt{x + 4 \sqrt{5}} = 1 + y \sqrt{5}$ ，且 $x$ ， $y$ 均为正整数，求 $x$ 的值；

(4)、【解决问题】
某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为 $80 {c m}^{2}$ 和 $(14 + 6 \sqrt{5}) {c m}^{2}$ ．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）：
型号
长
宽
高
$A$ 型
$10 c m$
$8 c m$
$12 c m$
$B$ 型
$12 c m$
$10 c m$
$15 c m$
$C$ 型
$16 c m$
$10 c m$
$10 c m$
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？

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型号	长	宽	高
$A$ 型	$10 c m$	$8 c m$	$12 c m$
$B$ 型	$12 c m$	$10 c m$	$15 c m$
$C$ 型	$16 c m$	$10 c m$	$10 c m$