相关试卷

1、阅读理解：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边， $∠ C = 90 °$ ，其外接圆半径为 $R$ ．根据锐角三角比的定义： $\sin A = \frac{a}{c}$ ， $\sin B = \frac{b}{c}$ ，可得 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = c = 2 R$ ，即 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ （规定 $\sin 90 ° = 1$ ）．
探究活动：如图2，在锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边，其外接圆半径为 $R$ ，如图，过点 $C$ 作直径 $C D$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，
$∴ ∠ A = ∠ D$ ， $∠ D B C = 90 °$ ，
$∴ \sin A = \sin D = \frac{B C}{C D} = \frac{a}{2 R}$ ，
$∴ \frac{a}{\sin A} = 2 R$ ，
根据上面的思路，试探究：
$\frac{b}{\sin B}$ ▲ $\frac{c}{\sin C}$ ▲ $2 R$ （用 $>$ ， $<$ 或 $＝$ 连接）．
初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ，求 $c$ ．
综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼 $A B$ 的高度，在 $A$ 处用测角仪测得地面点 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ，点 $D$ 处的俯角为 $15 °$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在一条直线上，且 $C$ ， $D$ 两点的距离为100米，求楼 $A B$ 的高度．（结果保留根号）（参考数据： $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ）．

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2、 $△ A B C$ 在边长为1的正方形网格中如图所示．点A，B，C的坐标分别为 $A (1, 2)$ ， $B (3, 1)$ ， $C (2, 3)$ ．

(1)、以原点 $O$ 为位似中心在第三象限内画一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 位似，且相似比为 $2 ： 1$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、把 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并求出在旋转过程中，点B到点 $B_{2}$ 所经过的路径长．

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3、

(1)、计算： $3 \tan 45 ° + (- 1) \times 4 + \sqrt[3]{- 8}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 6 = 4 x$ ．

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4、如图，抛物线 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + 1$ 与x轴交于 $A ， B$ 两点， $D$ 是以点 $C (0, - 3)$ 为圆心，2为半径的圆上的动点， $E$ 是线段 $B D$ 的中点，连接 $O E$ ，则线段 $O E$ 的最大值是．

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5、若一元二次方程 $x^{2} + m x - 2 = 0$ 有一个根是1，则另一个根是．

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6、如图，点O是正六边形 $A B C D E F$ 的中心点，连接 $O B 、 O F$ ，则 $∠ B O F$ 的度数为．

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7、设a是方程 $x^{2} - 2026 x + 1 = 0$ 的一个根，则 $a^{2} - 2025 a + \frac{2026}{a^{2} + 1} =$ （　　）

A、2025 B、2026 C、2027 D、无法确定

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8、关于二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ ，下列说法错误的是（）

A、开口向上 B、对称轴为直线 $x = 2$ C、有最大值 $- 1$ D、 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大

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9、如图，将 $△ A B C$ 绕顶点A逆时针旋转 $30 °$ ，得到 $△ A D E$ ，若 $∠ D A C = 50 °$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $110 °$ C、 $100 °$ D、 $90 °$

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10、下列运算正确的是（　　）

A、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $2 a^{2} \cdot a = a^{3}$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + a + 1$

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11、反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象一定经过的点是（）

A、 $(- 3, - 2)$ B、 $(- 6, - 1)$ C、 $(1, 6)$ D、 $(3, - 2)$

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12、如图所示的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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13、某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

(1)、求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

(2)、为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于线段 $M N$ ，点 $Q$ 和图形 $T$ 进行以下定义：若线段 $M N$ 绕点 $Q$ 旋转180度后，新线段 $A B$ （ $A$ 对应 $M$ ， $B$ 对应 $N$ ）在图形 $T$ 里（包括图形 $T$ 边界），我们就称点 $Q$ 是图形 $T$ 和线段 $M N$ 的凸显点，若点 $Q$ 在图形 $T$ 里（包括边界），且满足凸显点定义，则称点 $Q$ 是图形 $T$ 和线段 $M N$ 的凸显差距点．

(1)、已知 $(4, 2)$ ， $(6, 2)$ 是线段 $p$ 的两个端点， $C (- 3, 0)$ ， $D (- 3, 3)$ ， $E (1, 3)$ ， $F (1, 0)$ ，我们将四边形 $C D E F$ 称为图形 $T_{1}$ ．
则下列点是图形 $T_{1}$ 和线段 $p$ 的凸显点的是（填写序号）
① $Q_{1} (1, 1)$ ；② $Q_{2} (2, 2)$ ；③ $Q_{3} (2, 0)$ ；④ $Q_{4} (1.5, 1.5)$

(2)、若 $M (t, 0)$ ， $N (t - 1, 1)$ ，图形 $T_{2}$ 以点 $P (2, 2)$ 为中心作边长为6的正方形，且各边均与坐标轴平行，
①若 $Q (x_{Q}, 2)$ ，当 $1 < t \leq 2$ 时，存在点 $Q$ 使得 $Q$ 为图形 $T_{2}$ 和线段 $M N$ 的凸显差距点，直接写出此时点 $Q$ 横坐标 $x_{Q}$ 的取值范围．
②以点 $P$ 为中心作边长为3的正方形，且各边均与坐标轴平行，我们将其与图形 $T_{2}$ 的非重叠部分记为图形 $T_{3}$ ．直线 $l$ 过点 $(0, - 2)$ ，线段 $M N$ 关于直线 $l$ 对称后的线段记作线段 $m$ ，无论直线 $l$ 如何旋转，总会有点 $Q$ 是图形 $T_{3}$ 和线段 $m$ 的凸显差距点，直接写出 $t$ 的取值范围．

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15、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = α (90 ° \leq α < 180 °)$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上（不与 $A$ ， $B$ 重合），取 $A D$ 的中点 $F$ ，连接 $C D$ ， $C F$ ，将线段 $C D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $180 ° - α$ 得到线段 $C E$ ，连接 $A E$ ， $B E$ ．

(1)、依题意，请补全图形；

(2)、判断 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系，并证明；

(3)、当 $α = 90 °$ ， $A C = B C = 6$ 时，设 $B E$ 与 $C F$ 相交于点 $H$ ，则点 $D$ 在 $A B$ 上运动的过程中，线段 $A H$ 的最小值为________．

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16、如图，矩形草地 $A B C D$ 中， $A B = 16 m$ ， $A D = 10 m$ ，草地内铺了一条长和宽分别相等的直角折线甬路，使剩余草地总面积（两部分阴影之和）为 $132 m^{2}$ ．其中点 $O$ 为边 $A B$ 中点，（ $P O = P Q$ ， $O M = Q N$ ），现有一辆宽度为 $1.8 m$ 的新能源垃圾清扫车，是否能够顺利行驶进入甬路？

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17、已知二次函数 $y = x^{2} + m x + n$ 与一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 交于 $A (- 1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ 两点．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、当 $0 \leq x < 4$ 时，函数值 $y$ 的取值范围是_____；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + (m - k) x + n < b$ 的解集为_____．

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18、已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x + 3$ ．

(1)、解析式化顶点式为；

(2)、图象与 $x$ 轴交点的坐标， $y$ 轴交点的坐标．

(3)、在平面直角坐标系中画出这个二次函数图象（不用列表）；

(4)、当 $- 3 < x < 0$ 时， $y$ 的取值范围是．

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19、解方程

(1)、 $4 {(x + 1)}^{2} = 9$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

(3)、 $2 x^{2} + x - 2 = 0$

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20、已知抛物线 $y = 4 x^{2} + 2 x + c$ ，且当 $- 1 < x < 1$ 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则c的取值范围是.

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