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相关试卷

1、已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.

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2、已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．

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3、【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，
同学们积极参与了矩形折叠活动．

(1)、操作与证明：
1 如图①所示，小华将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $A$ 重合，点 $D$ 与点 $G$ 重合，
若 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $∠ A F E =$ ▲ $°$ ， $∠ A E F =$ ▲ $°$ ；
2 如图②所示，张三将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $E$ 重合， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，
过点 $D$ 作 $D G ∥ B F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，求证：四边形 $D F B G$ 是菱形；

(2)、迁移应用：
如图③所示，李四将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $E$ 重合， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，连接 $A E$ ，若 $∠ C B D = 30 °, C D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $A E$ 的长．

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4、在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4 c m$ ， $A D = 12 c m$ ， $B C = 13 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 以 $0.5 c m / s$ 的速度向点 $D$ 运动，点 $Q$ 从点 $C$ 以 $1.5 c m / s$ 的速度同时向点 $B$ 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、求 $t$ 为何值时，四边形 $P Q C D$ 是平行四边形？

(2)、求 $t$ 为何值时，四边形 $P Q B A$ 是矩形？

(3)、在整个运动过程中，（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形 $P Q C D$ 是菱形；

(4)、若只改变线段 $B C$ 的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形 $P Q B A$ 是正方形时，
请你求出 $t$ 的值和线段 $B C$ 的长度．

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5、阅读与思考

请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务．

中方四边形定义：

对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．

根据中方四边形的定义可知，对角线互相垂直且相等的四边形是中方四边形．

下面是这个结论的证明过程：

已知：如图1，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C = B D$ ， $A C ⊥ B D$ ．

求证：四边形 $A B C D$ 为中方四边形．

证明：如图1，分别取 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $E H$ 与 $A C$ 交于点 $P$ ， $E F$ 与 $B D$ 交于点 $Q$ ．则 $E H ∥ B D, F G ∥ B D, E F ∥ A C, H G ∥ A C$ ， $E H = \frac{1}{2} B D$ ， $E F = \frac{1}{2} A C$ ．

∴ $E H ∥ F G, E F ∥ H G$ ．

∴四边形 $E F G H$ 为平行四边形．

∵ $A C = B D$ ，

∴ $E H = E F$ ．

∴四边形 $E F G H$ 为菱形．

……

任务：

(1)、下列四边形中，一定是中方四边形的是____．

A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

(2)、请补全材料中的证明过程．

(3)、如图2，已知

△ A B C

为锐角三角形，分别以

A B

，

A C

为边，向外作正方形

A B D E

和正方形

A C F G

．连接

B E

，

C G

，

E G

，试证明四边形

B C G E

为中方四边形．

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6、如图，四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于O， $A O = C O = 10$ ， $B O = D O$ ，且 $A B = 12$ ， $B C = 16$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

(2)、若 $∠ A D F : ∠ F D C = 3 : 2$ ， $D F ⊥ A C$ 于点E，求 $∠ B D F$ 的度数．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中 $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，四边形 $A B D E$ 是平行四边形， $A C$ ， $D E$ 相交于点 $O$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C E$ 是矩形；

(2)、若 $∠ A O E = 60 °$ ， $A E = 4$ ，求 $A D$ 的长．

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8、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B = B D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

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9、中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得 $A B = 5 c m$ ， $A C = 6 c m$ ，则该菱形的面积是 $c m^{2}$ ．

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10、如图， $▱$ ABCD的对角线相交于点O，且AD $\neq$ CD，过点O作OM $⊥$ AC，交AD于点M．如果 $△$ CDM的周长为8，那么 $▱$ ABCD的周长是．

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11、已知，在 $▱$ ABCD中， $∠ C = 2 ∠ B$ ，则∠C＝°．

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12、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， F是对角线 $A C$ 的中点，点G、E分别在 $A D$ 、 $C D$ 边上运动，且保持 $A G = D E$ ，连接 $G E$ 、 $G F$ 、 $E F$ ，在此运动变化的过程中，下列结论：
① $△ G F E$ 是等腰直角三角形；②四边形 $D G F E$ 不可能为正方形，③ $G E$ 长度的最小值为 $4 \sqrt{2}$ ；
④四边形 $D G F E$ 的面积保持不变；⑤ $△ D G E$ 面积的最大值为8，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④⑤ C、①③④ D、③④⑤

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13、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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14、如图，l₁∥l₂ ， AB∥CD，CE⊥l₂于点E，FG⊥l₂于点G，下列结论不一定成立的是（）

A、AB＝CD B、EC＝FG C、EG＝CF D、BD＝EG

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15、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C = 6, B D = 8$ ，则菱形的边长是（）

A、5 B、10 C、6 D、8

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16、如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节 $A, E$ 间的距离．若 $A, E$ 间的距离调节到 $120 c m$ ，菱形的边长 $A B = 40 c m$ ，则 $∠ D C B$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $120 °$ C、 $140 °$ D、 $160 °$

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17、如图，在 $▱ A B C D$ 中，F是AD上的一点，CF＝CD，若∠B＝72°，则∠DFC的度数是（）

A、78° B、108° C、102° D、72°

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18、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A + ∠ C = 80 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $80 °$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $40 °$

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19、请阅读下列材料：
问题：已知方程 $x^{2} + x - 1 = 0,$ 求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，
则y=2x，所以 $x = \frac{y}{2} .$
把 $x = \frac{y}{2}$ 代入已知方程，得 ${(\frac{y}{2})}^{2} + \frac{y}{2} - 1 = 0,$
化简，得 $y^{2} + 2 y - 4 = 0,$
故所求方程为 $y^{2} + 2 y - 4 = 0 .$
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的方法，解答下列问题(要求：把所求方程化为一般形式)：

(1)、已知方程 $2 x^{2} - x - 5 = 0,$ 求一个关于y的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程；

(2)、已知方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的两个根分别是1和-3，尝试求出另一个方程 $a {(2 x + 3)}^{2} + 2 b x = 3 (1 - b)$ 的两个根.

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20、商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元?

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