相关试卷

1、《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只鸡、鸭平均各重多少千克?设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为( )

A、 ${\begin{matrix} 6 x + 7 y = 24 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 7 x + 6 y = 24 \\ 5 x - y = 6 y - x \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 6 x + y = 24 \\ 6 x - y = 7 y - x \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 6 x + 7 y = 24 \\ 6 x + y = 7 y + x \end{matrix}$

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2、如图，将三角尺的直角顶点放在一把直尺的边上，若∠1=50°，则∠2的度数是( )

A、25° B、30° C、40° D、50°

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3、如图，下列条件中能判定AB∥CD的条件是( )

A、∠1=∠2 B、∠3=∠4 C、∠BAD=∠BCD D、∠BAD+∠ADC=180°

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4、下列计算正确的是( )

A、 $m^{6} \div m^{2} = m^{3}$ B、 $m \cdot m^{3} = m^{4}$ C、 ${(2 m)}^{2} = 2 m^{2}$ D、 ${(m^{2})}^{3} = m^{5}$

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5、清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为( )

A、 $0.84 \times 1 0^{- 5}$ B、 $8.4 \times 1 0^{- 6}$ C、 $84 \times 1 0^{- 7}$ D、 $8.4 \times 1 0^{- 8}$

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6、 - (-2026)⁰= ( )

A、2026 B、- 2026 C、- 1 D、1

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7、我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程” $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 设其两根为 $x_{1} 、 x_{2} (x_{1} \geq x_{2}),$ 定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中 $s = ∣ x_{1} + x_{2} ∣, p = ∣ x_{1} x_{2} ∣) .$ 若两个“全整根方程”的特征数对分别为 $M_{1} (s_{1}, p_{1}), M_{2} (s_{2}, p_{2}), s_{1} + s_{2} = ∣ p_{1} - p_{2} ∣,$ 则称这两个方程互为“关联全整根方程”.
举例说明：方程①： $x^{2} - 9 x + 20 = 0 (x_{1} = 4, x_{2} = 5),$ 特征数对M（9，20）；
方程②： $x^{2} + 6 x + 5 = 0 (x_{1} = - 1, x_{2} = - 5),$ 特征数对M₂（6，5）；
验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题：

(1)、【概念辨析与计算】
已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0$ （k为整数）是“全整根方程”.
①则该方程的两根分别为 ▲ ， ▲ ；
②若其特征数对为M（3，2），求k的值.

(2)、【关联探究与推理】
若方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 和 $x^{2} + p x + q = 0$ 都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q.

(3)、【AI验证与拓展】
某同学利用AI工具生成了“全整根方程” $A : x^{2} + m x + n = 0 (m⟩ 0,0 < n < 25)$ 与“全整根方程” $B : x^{2} + 10 x + 25 = 0,$ 且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值.

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8、已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2cm，AB=4cm，BC=6cm，E是BC中点，∠C=45°.已知动点P从点A出发，沿着AB方向以1cm/s的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着CD方向以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度向终点D匀速运动.当一个点到达终点时，另一点也随之停止.设运动的时间为ts.

(1)、当t=2s时，求PE的长；

(2)、用含t的代数式表示线段PQ的长；

(3)、当∠PEQ=90°时，求t的值.

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9、观察下列等式，并回答下列问题：
第1个等式： $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 + 4 - 1}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$ 第2个等式： $\frac{1}{\sqrt{4 + 9 + 36 - 1}} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3}$
第3个等式： $\frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 144 - 1}} = \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4}$ ……

(1)、请直接写出第4个等式；

(2)、根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ▲ ，并计算：
$\frac{1}{\sqrt{1 + 4 + 4 - 1}} + \frac{1}{\sqrt{4 + 9 + 36 - 1}} + \frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 144 - 1}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2025 + 216 + 2025 \times 216 - 1}}$

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10、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 1) x + 2 k - 2 = 0 .$

(1)、求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；

(2)、若等腰△ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值.

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11、某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制如下统计图.

(1)、【数据分析】
小华利用平均数和方差进行分析.①处应填环.由表格中的数据可以看出（填“A”或“B”）选手的发挥更稳定.

(2)、小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析.下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数：m₂₅、m₅₀、m₇₅的值.
选手
平均数
方差
A
8.5环
1.75
B
①
0.75

(3)、【作出决策】
根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔（填“A”或“B”参加青少年射击比赛），并说明理由.

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12、解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$

(2)、 ${(x - 5)}^{2} = 8 (x - 5)$

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13、计算：

(1)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{12} \div \sqrt{3}$

(2)、 $(2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5}) - {(\sqrt{3} - 2)}^{2}$

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14、我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程 $x^{2} + 6 x = 27$ .如图1：在边长为x的正方形的四条边上向外作边长为x和 $\frac{3}{2}$ 的长方形，再把它补充成一个边长为x+3的大正方形，得到大正方形的面积为 ${(x + 3)}^{2} = x^{2} + 6 x + 9 = 27 + 9 = 36$ （因为 $x^{2} + 6 x = 27) .$ 所以大正方形的边长为x+3=6，得到x=3。聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程 $x^{2} + a x - b = 0$ 时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形ABCD面积为64，小正方形EFGD面积为25，则 $x^{2} + a x - b = 0$ 中的a=；b=.

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15、已知m，n是一元二次方程 $2 x^{2} - 6 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $2 m^{2} - 5 m + n$ 的值等于.

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16、已知a，b满足 $b = 2 \sqrt{a - 3} + \sqrt{3 - a} + 7,$ 则a+b=.

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17、一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根为α与β.则 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ 的值是.

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18、某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占40%，期末考试成绩占60%计算.若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为分.

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19、对于实数x，y，存在正整数n和常数k>0，满足 $\frac{\sqrt{x - k}}{n} = 2,$ 且y=x-8n.甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当k=10，y=22时，则x=45；乙同学：若对于任意的正整数n，都有y≥3，则常数k的取值范围是k≥7.其中正确的结论有（）

A、甲、乙都正确 B、甲正确，乙错误 C、甲错误，乙正确 D、甲、乙都错误

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20、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根x₁ ， x₂ ，且满足 $x_{1} = 3 x_{2}, 2 a + b = 0,$ 则该方程的解为（）

A、 $x_{1} = - \frac{3}{2}, x_{2} = - \frac{1}{2}$ B、 $x_{1} = \frac{3}{2}, x_{2} = \frac{1}{2}$ C、 $x_{1} = 6, x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 6, x_{2} = - 2$

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选手	平均数	方差
A	8.5环	1.75
B	①	0.75