相关试卷

1、观察发现：
如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连结AD，BD。请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由。
拓展应用：
如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你猜想FE与FD之间的数量关系，并说明理由。

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2、如图，在△ABC中，CD是边AB上的高线，BE平分 $∠ A B C$ ，交CD于点E，BC=6，若△BCE的面积为9，则DE的长为。

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3、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且CE=5cm，BE=8cm，则AC的长为cm。

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4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE与边BC上的中线AD相交于点F，P为CE的中点，连结PF。若 $C P = 4, S_{△ A F P} = 30,$ 则点E到直线AB的距离为， AB的长为。

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5、如图，在△ABC中， $∠ B = 6 5^{\circ}, ∠ C = 3 0^{\circ},$ ，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）

A、45° B、55° C、60° D、 $6 5^{\circ}$

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6、如图， $∠ A C B = 9 0^{\circ}, A C = B C, A D ⊥ C E, B E ⊥ C E$ ，垂足分别为D，E，若AD=a，DE=b。

(1)、如图1，求BE的长，并写出求解过程。（用含a，b的代数式表示）

(2)、如图2，当点D在△ABC内部时，直接写出BE的长：。（用含a，b的代数式表示）

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7、如图，点E在 $△ A B C$ 的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3, A B = A D,$ 求证：

(1)、 $∠ E = ∠ C 。$

(2)、 $△ A B C ≅ △ A D E 。$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，BE，CD相交于点P，PB=PC。求证：AD=AE。

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9、如图，在△ABC中，AE是∠CAB的平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点F。

(1)、若∠ACB=∠CDB=90°，求证：∠CFE=∠CEF。

(2)、若 $∠ C B = ∠ C D B = m (0^{\circ} < m < 18 0^{\circ}) 。$
①求∠CEF-∠CFE的值。（用含m的代数式表示）
②是否存在m，使∠CEF小于∠CFE?如果存在，请求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由。

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10、如图，在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，若∠B=72°，∠DAE=16°，则∠C=。

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11、如图， $∠ M O N = 9 0^{\circ}$ ，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）。

(1)、如图1，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与 $∠ B A O$ 的平分线交于点D。
①若 $∠ B A O = 6 0^{\circ}$ ，则∠D的大小为 ▲ 。
②猜想：∠D的度数是否随点A，B的移动发生变化?请判断并说明理由。

(2)、如图2，若 $∠ A B C = \frac{1}{3} ∠ A B N, ∠ B A D = \frac{1}{3} ∠ B A O,$ 则 $∠ D$ 的大小为；若 $∠ A B C = \frac{1}{n} ∠ A B N, ∠ B A D = \frac{1}{n} ∠ B A O,$ 则∠D的大小为（用含n的代数式表示）。

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12、若 $△ A B C$ 三个内角的关系为 $\frac{∠ A}{3} = \frac{∠ B}{4} = \frac{∠ C}{5},$ 则该三角形的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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13、下列各组数量中，能作为一个三角形的三边长的是（）

A、2cm，3cm，4cm B、1cm，2cm，4cm C、1cm，1cm，2cm D、5cm，7cm，12cm

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14、一根长1m的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x（m）的取值范围是。

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15、若一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长可能是。（写一个即可）

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16、折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢?
【问题情境】如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，怎样判断 $∠ C$ 与 $∠ B$ 的大小关系呢?
解答：将边 $A C$ 折叠，使 $A C$ 落在边 $A B$ 上，点C的对应点为 $C^{'}$ ，折痕与 $B C$ 交于点D．
由折叠可得 $∠ A C^{'} D = ∠ C$ ．又 $∵$ $∠ A C^{'} D > ∠ B$ ， $∴$ $∠ C > ∠ B$ ；
结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．
（1）若 $∠ C A B = 60 °$ ， $∠ C = 80 °$ ，求 $∠ C^{'} D B$ 的度数；
（2）若 $∠ C = 2 ∠ B$ ，判断 $A C$ ， $A B$ 与 $C D$ 之间的数量关系，并说明理由；
【变式探究】（3）如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．设 $A C = a$ ， $A B = b$ ，求 $B D$ 的长（用含a，b的代数式表示）；
【思维拓展】（4）在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 100 °$ ， D是边 $B C$ 上的动点，连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠，得到 $△ A E D$ ，且点E在直线 $B C$ 的下方， $A E$ 与边 $B C$ 交于点M．继续将 $A C$ 向下折叠，使边 $A C$ 与 $A E$ 重合，折痕为 $A F$ （F在边 $C M$ 上），连接 $E F$ ．若 $△ D E F$ 是等腰三角形，请直接写出 $∠ B A D$ 的度数．

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17、根据以下素材，完成探索任务．

素材	如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河岸的点A处，测得河南岸的一棵树底部B点恰好在点A的正南方向，测量方案如下表：
	课题	测量河流宽度
	工具	测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺等
	小组	第一小组	第二小组	第三小组
	测量方案	如图1，观测者在河南岸从点B出发，沿着南偏西 $80 °$ 的方向走到点C，此时恰好测得 $∠ A C B = 40 °$	观测者从B点向正东走到C点，O是 $B C$ 的中点，继续从点C沿垂直于 $B C$ 的 $C D$ 方向走，直到点A，O，D在一条直线上
	测量示意图
问题解决
任务1	（1）第一小组认为，河宽 $A B$ 的长度就是线段_____的长度．
任务2	（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得 $C D$ 的长就是所求河宽 $A B$ 长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
任务3	（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽 $A B$ 长，并说明方案的可行性．

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18、如图，某中学校园内有一块长为 $(x + 2 y)$ 米，宽为 $(2 x + y)$ 米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“ $T$ ”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．

(1)、请用代数式表示图中两块空白地块的面积为_____平方米（结果写成最简形式）；

(2)、求文化广场的总面积（结果用含 $x$ ， $y$ 的最简形式表示）；

(3)、若 $x = 2$ ， $y = 3$ ，预计修建文化广场每平方米的费用为 $50$ 元，求修建文化广场所需要的费用．

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19、在如图的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 $1$ 个单位长度的正方形， $△ A B C$ 的顶点在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为；

(3)、在 $x$ 轴上存在点 $Q$ ，使 $△ Q A C$ 的周长最小，此时点 $Q$ 的坐标是．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ．

(1)、若 $∠ B = 39 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、若点 $E$ 在边 $A C$ 上， $E F ∥ A B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，请说明 $△ A E F$ 的形状．

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