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1、如图， $∠ A = 120 °$ ， $A B = A C = 4$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上， $D E$ $∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到 $△ G D H$ ．当点 $H$ 在 $B C$ 上时， $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2、若 $1 < x < 4$ ，则化简 $\sqrt{{(x - 4)}^{2}} - \sqrt{{(x - 1)}^{2}} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $5 - 2 x$ C、3 D、5

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3、下列语句：①2是4的平方根．② $- \sqrt[3]{8}$ ， $- π$ ， $\sqrt{25}$ 都是无理数．③实数和数轴上的点一一对应．④ $\sqrt[3]{8}$ 的立方根是2．⑤ $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ． ⑥ $\sqrt{a^{2}} = 4$ ，则 $a = \pm 4$ ．正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4、若 $a \neq 0$ ，且 $a$ ， $b$ 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一组是（）

A、 $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{b}$ B、 $\sqrt[3]{a^{3}}$ 与 $- \sqrt[3]{b^{3}}$ C、 $\sqrt[3]{a}$ 与 $\sqrt[3]{b}$ D、 $\sqrt{a^{2}}$ 与 $\sqrt{b^{2}}$

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5、观察下列分式及其变形过程，
① $\frac{x + 2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$
② $\frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 + 1}{x + 1} = 2 + \frac{1}{x + 1}$
③ $\frac{x^{2} + x + 2}{x + 1} = \frac{x (x + 1) + 2}{x + 1} = x + \frac{2}{x + 1}$
④ $\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 1 + x + 1}{x^{2} + 1} = 1 + \frac{x + 1}{x^{2} + 1}$
……
我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题：

(1)、下列式子中，属于“奇妙分式”的是；（只填写字母代号）
A． $\frac{x^{2} + 2}{x^{2}}$ B． $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1}$ C． $\frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ D． $\frac{x^{2} + 3}{2 π}$ E． $\frac{x^{2} - x}{x - 1}$

(2)、若奇妙分式 $\frac{2 a^{2} + 1}{a^{2} - 1}$ 的值为整数，求正整数a的值；

(3)、已知分式 $\frac{2 x^{2} + 3 x - 1}{x + 2}$ 是奇妙分式，
①把其化成一个整式与一个真分式和的形式；
②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子 $\frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{b^{2} - m}{b - 3}$ 可化简为一个整式，求常数m的值．

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6、如下图，一幅书画在装裱前的大小是 $1.2 m \times 0.8 m$ ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 $a m, b m, c m, d m$ ．若装裱后 $A B$ 与 $A D$ 的比是 $16 : 10$ ，且 $a = b$ ， $c = d, c = 2 a$ ，求上边衬的宽度．

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7、解分式方程：

(1)、 $\frac{1}{x} = \frac{4}{x + 3}$

(2)、 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$

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8、若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{4 x + 1}{3} < x + 2 \\ 3 x - a \geq 3 - 4 \end{array}$ 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程 $\frac{y - 2 a - 2}{4 - 2 y} + \frac{1 - a}{2 y - 4} = 1$ 的解为整数，则满足条件的所有整数 $a$ 的值之和为．

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9、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{m}{x - 2} + \frac{3}{2 - x} = 1$ 的解不小于1，那么 $m$ 的取值范围是．

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10、若 $3 a b - 3 b^{2} - 2 = 0$ ，则代数式 $\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a^{2}} \div \frac{a - b}{a^{2} b}$ 的值为．

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11、化简 $\frac{m^{2} + n^{2}}{m - n} + \frac{2 m n}{n - m}$ 的结果是．

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12、冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成，若用2025个山楂穿了 $n$ 串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是．

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13、计算： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b} =$ ．

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14、下列各式中，最简分式有个．
① $\frac{1}{1 - x}$ ；② $\frac{4 y + 2}{2 x}$ ；③ $\frac{x}{3 π}$ ；④ $\frac{10 + 4 a}{5 + 2 a}$ ； $⑤$ $\frac{4 y^{2} + 10 y}{2 y + 5}$

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15、老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目：
若 $x$ 为正整数，求 $\frac{4 x - 2}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ 的最大值或最小值．
接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（）
甲：（把原式通分）原式 $= \frac{4 x - 2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(4 x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ．
乙：（得到化简结果） $= \frac{3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{3}{x + 1}$ ．
丙：（确定 $x$ 的值）因为 $x$ 为正整数，所以 $x$ 有最小值1．
丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值 $= \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$ ．

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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16、已知 $X = \frac{2 a}{2 a + 1}$ ， $Y = \frac{2 a - 1}{2 a}$ ， $Z = \frac{2 a}{2 a - 1}$ ，若 $a > \frac{1}{2}$ ，则 $X$ ， $Y$ ， $Z$ 的大小关系为（）

A、 $X > Y > Z$ B、 $X > Z > Y$ C、 $Z > Y > X$ D、 $Z > X > Y$

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17、化简 $\frac{2 x - 6}{x - 2} \div (\frac{5}{x - 2} - x - 2)$ 的结果为（）

A、 $- \frac{2}{x + 3}$ B、 $\frac{2}{x + 3}$ C、 $\frac{2 x - 11}{5}$ D、 $\frac{2 x - 6}{5 - {(x - 2)}^{2}}$

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18、已知 $\frac{8 a}{a^{2} - 4} □ \frac{a^{2} - 2 a}{4 a + 8} = \frac{32}{a^{2} - 4 a + 4}$ ，能使等式恒成立的运算符号是（）

A、 $+$ B、 $-$ C、 $\times$ D、 $\div$

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19、计算 $(- \frac{a}{2 b}) \cdot \frac{2 b}{a^{2}}$ 的结果是（）

A、 $- \frac{1}{a}$ B、 $- \frac{1}{2 a}$ C、 $- \frac{1}{4 a}$ D、 $- \frac{b^{2}}{a}$

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20、在代数式 $- \frac{1}{a}$ ， $\frac{x}{2 π}$ ， $\frac{x - 6 y}{7}$ ， $\frac{a + 2}{b}$ 中，分式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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