相关试卷

1、先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程 $\frac{2 x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$ ．
解：方程两边乘 $(x - 2)$ ，得 $2 x - 1 = - 3$ ， …第①步
移项，得 $2 x = - 3 + 1$ ，．．．第②步
合并同类项、系数化为1，得 $x = - 1$ ， …第③步
…

(1)、以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第_____步（填序号），错误的原因是_____；

(2)、请写出正确的解答过程．

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2、已知 $3^{a} = 4$ ， $3^{b} = 10$ ， $3^{c} = 8$ ．

(1)、求 $3^{a + c}$ 的值；

(2)、求 $3^{2 b - a}$ 的值．

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3、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, 3)$ ， $C (- 2, 1)$ ．

(1)、求出 $△ A B C$ 的面积．

(2)、作 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(3)、在y轴上找一点P，使得 $P A + P C$ 的值最小，请在图中作出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．

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4、按要求完成下列各题：

(1)、计算： $- 1^{2026} - 2^{- 3} \times 8 + {(π - 3.14)}^{0} - |- 1|$ ；

(2)、先化简代数式 $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} \div (1 - \frac{3}{a + 1})$ ，再选择一个你喜欢的a的值代入求值．

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5、如图，P为等边三角形 $A B C$ 外一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．已知 $P A = 5$ ， $P C = 3$ ， O为 $P B$ 的中点，则 $O B$ 的最大值为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点O为三角形的重心，D为 $O C$ 中点，若 $△ A B C$ 的面积为24，则 $△ B O D$ 的面积是．

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7、两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当 $a = 3$ 时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式．

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8、我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约 $0 .0000000004m$ ，其中 $0 .0000000004m$ 用科学记数法表示为．

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9、如图，已知：∠MON＝30°，点A₁ ， A₂ ， A₃……在射线ON上，点B₁ ， B₂ ， B₃……在射线OM上，△A₁B₁A₂ ， △A₂B₂A₃ ， △A₃B₃A₄……均为等边三角形，若OA₁＝1，则△A₇B₇A₈的边长为（　　）

A、64 B、32 C、16 D、128

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B A$ ， $B C$ 于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A C$ 于点D．则下列结论错误的是（）

A、 $B P$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线 B、 $A D = B D$ C、 $S_{△ C B D} : S_{△ A B D} = 1 : 3$ D、 $\frac{C D}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

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11、王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： $x - 1, a - b, 3, x^{2} - 1, a, x + 1$ 分别对应六个字：北，爱，我，数，学，河，现将 $3 a (x^{2} - 1) - 3 b (x^{2} - 1)$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱数学 B、爱河北 C、河北数学 D、我爱河北

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12、在探究证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、若把分式 $\frac{a}{2 a - b}$ 中的a，b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的4倍 B、扩大为原来的2倍 C、不变 D、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$

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14、等腰三角形的两内角的度数之比为 $1 : 4$ ，则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $120 °$ C、 $20 °$ 或 $120 °$ D、 $80 °$ 或 $120 °$

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15、如图， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是 $△ A B C$ 的两个外角，若 $∠ B A C = 39 °$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ （）

A、 $118 °$ B、 $219 °$ C、 $198 °$ D、 $188 °$

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16、如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得 $A C = 4 m$ ， $B C = 7 m$ ，那么点A，B两点之间的距离可能是（）

A、 $3 m$ B、 $8 m$ C、 $11 m$ D、 $12 m$

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17、书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为 $23 cm$ ，宽为 $16 cm$ ，厚度为 $2 cm$ ，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度，设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为 $a cm$ ．

(1)、该包书纸的长为______ $cm$ ；宽为______ $cm$ ；（用含 $a$ 的代数式表示）

(2)、当 $a = 1$ 时，求该包书纸的面积（不含阴影部分）．

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18、如图，木匠师傅经过刨平的木板上的 $A$ ， $B$ 两点，可以弹出一条笔直的墨线，请你解释这一实际应用的数学基本事实是．

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19、已知二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3 (m \neq 0)$ ．
【特例分析】
（1）当 $m = - 2$ ， $- 1$ ， 2时，其图象对应为图中的 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，观察图象：发现二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______；
【性质运用】
（2）将函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 图象向下平移 $4 |m|$ 个单位，若所得图象的顶点落在 $x$ 轴上，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $P (\frac{1}{2}, 6 - m)$ ， $Q (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，线段 $P Q$ 与此函数图象有且只有一个公共点 $m$ 的取值范围为______．

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20、光的折射．

物理常识

光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．

当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦与折射角 $β$ 的正弦之比（ $α$ ， $β$ 均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号 $n$ 表示，即 $n = \frac{sin α}{sin β}$

【概念理解】

（1）如图①，若入射角 $α$ 的度数为 $60 °$ ，折射率 $n = \sqrt{3}$ ，求折射角 $β$ 的度数．

（2）如图②，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = 2$ ， $P A$ 是入射光线，点 $A$ 是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线 $A Q$ ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【深入思考】

（3）如图③，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = \frac{4}{3}$ ，直线 $l$ 上有一个位置固定的遮光板 $A B$ ，且 $M$ 是 $A B$ 的中点；在直线 $l$ 下方有一个圆形区域 $⊙ O$ ，且 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $M$ ．点光源 $P$ 在直线 $l$ 的上方，经过遮光板 $A B$ 的遮挡，使得折射光线不能进入 $⊙ O$ 的内部，已知 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ．（假设入射光线在端点 $A$ ， $B$ 处能够发生折射），求点光源 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值．

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