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1、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数）关于直线 $x = - 1$ 对称．下列五个结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a - b = 0$ ；③ $3 a + c > 0$ ；④ $b^{2} - 4 a c > 0$ ；⑤ $a m^{2} + b m \geq a - b$ ．其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2、如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图像的一部分，对称轴为直线 $x = 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $8 a + c < 0$ B、 $a b c > 0$ C、当 $- 1 < x < 2$ 时， $y \geq 0$ D、若 $(- 2, y_{1})$ ， $(\frac{1}{2}, y_{2})$ ， $(3, y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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3、如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称，与x轴的一个交点在原点和 $(1, 0)$ 之间，下列结论错误的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $b = 2 a$ C、 $4 a - 2 b + c > 0$ D、 $a - b \leq m (a m + b)$ （m为任意实数）

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4、如图，某一次函数与二次函数 $y = x^{2} + m x + n$ 的图象交点为 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 5)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $C$ 为抛物线对称轴上一动点，当 $A C$ 与 $B C$ 的和最小时，求点 $C$ 的坐标；

(3)、在（2）条件下，点 $M$ 为 $y$ 轴上一点，点 $F$ 为直线 $A B$ 上一点，点 $N$ 为平面直角坐标系内一点，若以点 $C$ ， $M$ ， $F$ ， $N$ 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点 $N$ 的坐标．

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5、如图所示，在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + 3$ 交坐标轴于B、C两点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 经过B、C两点，且交x轴于另一点 $A (- 1, 0)$ ．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作 $D Q ∥ C O$ ， $D Q$ 交 $B C$ 于点P ，交x轴于点Q ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点P的横坐标为m ，在点D的移动过程中，存在 $∠ D C P = ∠ D P C$ ，求出m值；

(3)、在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以 $C B$ 为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

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6、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $L : y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 1$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标；

(2)、将抛物线 $L$ 向右平移1个单位，得到新抛物线 $L^{'}$ ，点 $E$ 在坐标平面内，在新抛物线 $L^{'}$ 的对称轴 $l$ 上是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7、综合与探究
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A$ 点的坐标为 $(- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，

(1)、求抛物线解析式及顶点 $D$ 坐标；

(2)、点 $E$ 为抛物线上一点，且 $S_{△ A O E} = S_{△ B O C}$ ，则点 $E$ 的坐标为；

(3)、点 $F$ 为线段 $B C$ 上任意一点，过点 $F$ 作 $F M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，直线 $F M$ 交抛物线于点 $N$ ，求线段 $F N$ 的最大值；

(4)、点 $P$ 是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点 $Q$ ，使以点 $A$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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8、如图，抛物线与x轴交于 $A (- 2, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, 4)$ ，点P是抛物线上的动点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当点P在直线 $B C$ 的上方运动时，连接 $A P$ ，交直线 $B C$ 于点D ，交y轴于点E ．
①若 $△ A B D$ 的面积是 $△ P B D$ 面积的3倍，求点P的坐标；
②当 $C D = C E$ 时，求 $C E$ 的长．

(3)、过点P作 $P F ∥ y$ 轴交直线 $B C$ 于点F ，在y轴上是否存在点Q ，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 过点 $(1, 3)$ ，且交 $x$ 轴于点 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $B C$ 于点 $E$ ，求 $△ P D E$ 周长的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、在(2)中 $Δ P D E$ 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线 $C B$ 方向平移 $\sqrt{5}$ 个单位长度，点 $M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点 $N$ ，使得以点 $A$ ， $P$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 $N$ 的坐标．

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10、如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m (m > 0)$ 与y轴交于A点，其顶点为D ．直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2 m$ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线 $A D$ 相交于E点．

(1)、求A、D的坐标（用m的代数式表示）；

(2)、将 $Δ A C E$ 沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；

(3)、抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m (m > 0)$ 上是否存在一点P ，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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11、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 5)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、①如图1，若点 $P$ 是第二象限内抛物线上一动点，求点 $P$ 到直线 $A C$ 距离的最大值；
②如图2，若点 $Q$ 为抛物线对称轴上一个动点，当 $Q B = Q C$ 时，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图2，若点 $M$ 是抛物线上一点，点 $N$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 $M$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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12、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ． $A C = \sqrt{10}$ ， $O B = O C = 3 O A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使 $Δ P C B$ 的面积最大，求出点P的坐标；

(3)、在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ，使点P ， B ， M ， Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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13、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，与y轴相交于点C ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在上点P ，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴相交于A ， B两点，与y轴相交于点C ，直线 $y = k x + n (k \neq 0)$ 经过B ， C两点，已知 $A (1 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ ，且 $B C = 5$ ．

(1)、试求出点B的坐标．

(2)、分别求出直线 $B C$ 和抛物线的解析式．

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以 $B ， C ， P$ 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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15、如图是二次函数 $y = {(x + m)}^{2} + k$ 的图象，其顶点坐标为 $M (1, - 4)$ ．

(1)、求出图象与x轴的交点A ， B的坐标；

(2)、在二次函数的图象上是否存在点P ，使 $S_{△ P A B} = S_{△ M A B}$ ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、在y轴上存在一点Q ，使得 $Δ Q M B$ 周长最小，求此时构成的 $Δ Q M B$ 的面积．

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16、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (1, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ 两点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 $△ Q A C$ 的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使 $Δ P B C$ 的面积最大？若存在，求出 $△ P B C$ 面积的最大值．若没有，请说明理由．

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17、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，交y轴于点C ，且 $O C = 2 O B$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、点E是该抛物线对称轴上一点，且 $Δ E B C$ 的周长最小，求点E的坐标；

(3)、直线 $A C$ 下方的抛物线上是否存在一点F ，使得 $Δ F A C$ 的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标．

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18、如图，一次函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ 、 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若点 $P$ 为抛物线上一动点，在直线 $A B$ 上方是否存在点 $P$ 使 $Δ P A B$ 的面积最大？若存在，请求出 $Δ P A B$ 面积的最大值及点 $P$ 的坐标，请说明理由．

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19、如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{10}{3} x + c$ 经过 $B$ 、 $C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，点 $E$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，当 $△ B E C$ 面积最大时，请求出点 $E$ 的坐标；

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20、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C ，其中A点的坐标是 $(1, 0)$ ， C点坐标是 $(4, 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 $A C$ 的下方，试求 $△ A C E$ 的最大面积及E点的坐标．

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