相关试卷

1、解方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x = 0$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

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2、定义：已知 $△ A B C$ ，若点 $P (x, y)$ 的对应点 $Q (x, y + x)$ 在 $△ A B C$ 的内部或边上，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点 $A (- 5, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (- 5, 16)$ ，点 $P$ 是直线 $y = - x + 8$ 上的一点，若点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“纵横叠入点”，且 $△ A B Q$ 是等腰三角形，则点 $P$ 的坐标为．

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3、“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中 $⊙ M$ ， $⊙ N$ 的半径分别是 $1 cm$ 和 $10 cm$ ，当 $⊙ M$ 顺时针转动2周时， $⊙ N$ 上的点P随之旋转 $n °$ ，则 $n =$ ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 34 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上，且 $A B^{'} = C B^{'}$ ，则 $∠ B^{'} A B =$ ．

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5、如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为 $8 cm$ ，圆心 $O$ 到 $A B$ 的垂线段 $O E$ 长为 $3 cm$ ，则半径 $O A$ 的长为 $cm$ ．

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6、已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} \cdot x_{2} - x_{1} - x_{2}$ 等于（）．

A、－2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、2

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7、小明受二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 8$ 的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若 $A B = 4$ ， $D E = 3$ ，则杯子的高CE为（）

A、3 B、5 C、7 D、11

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，点O在 $B C$ 上，以点O为圆心， $O B$ 长为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点A，与 $O C$ 相交于点D，若 $∠ C = 28 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $38 °$ B、 $36 °$ C、 $34 °$ D、 $31 °$

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9、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 8$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $15 °$ 得 $△ A B^{'} C^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ 交 $A B$ 于点E，则 $B^{'} E$ 的长为（）

A、 $4 - \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3} - 4$ D、 $6 - 2 \sqrt{3}$

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10、用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，配方后所得的方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x - 2)}^{2} = - 1$ D、 ${(x + 2)}^{2} = - 1$

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11、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、【问题背景】如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中，若 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ．求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；
【尝试运用】如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A C B = ∠ D C E = 120 °$ ， $A C = B C$ ， $C D = C E$ ， $∠ A D C = 90 °$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．求证： $F$ 为 $A B$ 的中点；
【拓展创新】如图 $3$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $A C$ 边上的高为 $\sqrt{3}$ ，点 $M$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $A M$ 、在直线 $A M$ 的右侧作等边 $△ A M N$ ，连接 $B N$ ，则 $A N + B N$ 的最小值 $=$ __________．

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13、阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 2}$ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： $\frac{1}{x + 1}$ ， $- \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ 这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如： $\frac{8}{3} = \frac{3 \times 2 + 2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 1}{x + 2} = x - \frac{1}{x + 2}$ ； $\frac{x^{2}}{x + 2} = \frac{(x^{2} + 2 x) - 2 x}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 2 x - 4 + 4}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 2 (x + 2) + 4}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$ ．
请根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空：①分式 $\frac{2}{x + 2}$ 是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： $\frac{x^{2} - 3 x + 5}{x - 3} =$ ______

(2)、把分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 13}{x - 3}$ 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．

(3)、一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．

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14、观察图形，解决问题：

(1)、如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：
方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______；

(2)、当 ${(y - 2024)}^{2} + {(y - 2025)}^{2} = 5$ 时，求 $(y - 2024) (y - 2025)$ 的值；

(3)、如图②所示，两个正方形 $A B C D$ ， $A E F G$ 的边长分别为m，n．若 $m^{2} + n^{2} = 52$ ， $B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

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15、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 $40 °$ ，则底角的度数为．

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16、已知 $a^{2} - 5 a + 1 = 0$ ，则 $\frac{a^{2}}{a^{4} + a^{2} + 1}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{22}$ B、 $\frac{1}{23}$ C、 $\frac{1}{24}$ D、 $\frac{1}{25}$

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17、下列说法正确的是（）

A、三角形的三条高所在直线交于一点 B、三角形的外角大于任何一个内角 C、三角形的重心是三边中垂线交点 D、等腰三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自互相重合

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18、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 $a^{6} + a^{3} + a^{2} = 3 a^{11}$ C、 $2 a + 3 b = 5 a b$ D、 ${(- 2 a^{2} b)}^{3} = - 8 a^{6} b^{3}$

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19、分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq 1$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \neq - 1$ D、 $x \neq \pm 1$

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20、我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）．

(1)、分别求出在新技术改造阶段 $(1 \leq x \leq 5)$ 及新技术改造后 $(x > 5)$ ， y与x之间的函数表达式；

(2)、若设第3个月时该厂的利润为 $y_{1}$ ，第4个月时该厂的利润为 $y_{2}$ ，第7个月时利润为 $y_{3}$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 的大小关系为：________（用“>”连接）；

(3)、当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？

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